ハウスドルフのパラドックス

ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。

つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。

いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。

この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。

また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。

証明の概略

球面の回転群の構成

$\varphi$をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を$\psi$とする。 これらによって生成された群をGとする。

回転軸を適当に選べば、$\varphi ,\psi$は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

$\varphi ,\psi ,\psi ^{2}$の2つ以上からなる積は、以下の$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$のタイプに分類される。ただし， $m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}$は1または2である．

${\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}$

$\alpha \neq 1$であることが示されれば、$\beta ,\gamma ,\delta \neq 1$であることが分かる。

$\lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},$ とすると、

${\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}$

であり、$(\psi ^{2}\varphi )$は、$(\psi \varphi )$の式の$\mu$を $-\mu$で置き換えたものである。

$(\psi ^{2}\varphi )$または$(\psi \varphi )$のn個の積を $^{t}(0,0,1)$ に作用させると、

${\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}$

であることが分かる．

$\alpha$による $^{t}(0,0,1)$ の変換結果のz座標は

$z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots$

である。右辺は$\cos \vartheta$の多項式であり、係数は代数的数である。$\vartheta$を選んで、$\cos \vartheta$が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。

群Gの分割

回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。

• Aが単位元1を持つ。
• $\rho$がAに属するとき、$\varphi \rho$はA + Bに属する。
• $\rho$がAに属するとき、$\psi \rho ,\psi ^{2}\rho$はそれぞれB, Cに属する。

手続き (1)

1は、Aに属するものとする。$\varphi ,\psi$はBに属するものとする。$\psi ^{2}$はCに属するものとする。

手続き (2)

$\psi _{n}$を先頭が$\psi$又は$\psi ^{2}$であるような、$\varphi ,\psi ,\psi ^{2}$のn個の積とする。

$\varphi _{n}$を先頭が$\varphi$であるような、$\varphi ,\psi ,\psi ^{2}$のn個の積とする。

$\psi _{n}$がA, B, Cに属するならば、$\varphi \psi _{n}$はB, A, Aに属するようにする。

$\varphi _{n}$がA, B, Cに属するならば、$\psi \varphi _{n}$はB, C, Aに属するようにする。$\psi ^{2}\varphi _{n}$はC, A, Bに属するようにする。

このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。

${\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}A&1&&&&\varphi \psi &,&\varphi \psi ^{2}&,&\psi ^{2}\varphi &\varphi \psi \varphi &&&&&\cdots \\B&&\varphi &,&\psi &&&&&&\varphi \psi ^{2}\varphi &,&\psi \varphi \psi &,&\psi \varphi \psi ^{2}&\cdots \\C&&&&\psi ^{2}&&&&&\psi \varphi &&&\psi ^{2}\varphi \psi &,&\psi ^{2}\varphi \psi ^{2}&\cdots \end{array}}$

選択公理の適用

1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道を$P_{x}$とすると、$P_{x}=P_{y}$か、$P_{x}\cap P_{y}=\emptyset$のいずれか1つが成り立つ。 そして$G=\bigcup _{x\in M}P_{x}$ である．

選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。

このとき

${\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}$

$A',B',C'$をA, B, Cと書き直すと$P=A\cup B\cup C$であり、

$\varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C$

であるから、$A,B,C,B\cup C$は合同となる。よって定理は証明された。

参考文献

• Felix Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig (1914), pp. 469–. 
• Felix Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Mathematische Annalen 75 (1914), pp. 428–434 
• S. Banach et A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes,Findamenta Mathematicae 6 pp. 244–277 (1924), Banach全集 第一巻 pp. 118–148, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf 
• 砂田利一 (2009), 新版　バナッハ・タルスキーのパラドックス, 岩波書店 
• Stan Wagon (1985, Paperback 1993), The Banach-Tarski Paradox, Cambridge Univ. Press