トゥシャール多項式

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数学において、Jacques Touchard (1939) によって研究されたトゥシャール多項式(トゥシャールたこうしき、: Touchard polynomials)あるいは指数多項式(exponential polynomials)[1][2][3] とは、次で定義される二項型英語版多項式列のことを言う。

ただし S(n, k) は第二種スターリング数、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す(上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された)。n次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち

である。

X を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その n 次モーメントは E(Xn) = Tn(λ) で、次が定義される。

この事実より、この多項式列二項型英語版であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。

トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。

トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。

トゥシャール多項式は、次の漸化式

および

を満たす。x = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。

陰記法 Tn(x)=Tn(x) を用いることで、これらの公式は次のようになる。

トゥシャール多項式の母関数

である。これは第二種スターリング数の母関数に対応し、[4] においては指数多項式と呼ばれている。周回積分の表現を使えば

となる。トゥシャール多項式(そして関連するベル数)は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。

参考文献[編集]

  1. ^ Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. ISBN 0-486-44139-3. 
  2. ^ Boyadzhiev, Khristo N.. “Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals.”. arxiv. 2013年11月23日閲覧。
  3. ^ Brendt, Bruce C. “RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU”. 2013年11月23日閲覧。
  4. ^ Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. pp. 63–64. ISBN 0-486-44139-3.