ディリクレのディオファントス近似定理

ディリクレのディオファントス近似定理（ディリクレのディオファントスきんじていり）は、ディリクレが証明した実数の有理数による近似についての定理で、単にディリクレの定理と呼ばれることもある。

ディリクレのディオファントス近似定理は次のような定理である。

任意の実数 $\alpha$ と $1$ より大きい任意の自然数 $N$ に対し、分母が $N$ 以下の自然数 $q$ であるような $\alpha$ の近似分数 ${\frac {p}{q}}$ で、$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{qN}}$ を満たすものが存在する。

この定理の証明は鳩の巣原理による。

場合によっては、この定理から直ちに導かれる次の結果を指すこともある。

任意の無理数 $\beta$ に対し、$0<\left|\beta -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ を満たす無限に多くの有理数 ${\frac {p}{q}}$ が存在する。

この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。

関連項目

• ディオファントス近似

参考文献

• 塩川宇賢 『無理数と超越数』 森北出版 1999年 ISBN 4-627-06091-2