チェバの定理

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チェバの定理の第1の場合:三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる
チェバの定理の第2の場合:三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる

チェバの定理(ちぇばのていり、Ceva's theorem)とは、平面幾何学定理の1つである。1678年にジョバンニ・チェバDe lineis rectisを出版して証明を発表した[1]

定理[編集]

Ceva's theorum.png

三角形ABCにおいて、三角形の内部に任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

証明の方針[編集]

証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。

三角形の面積比を使う証明[編集]

線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する[2]。 三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF:FBで高さが等しいので、

{AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.

同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF:FBで高さが等しいので、

{AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.

この2式より、

{AF \over FB}={\triangle AFC - \triangle AFO \over \triangle BFC - \triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.

三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD:DCで高さが等しいので、

{BD \over DC}={\triangle BDO \over \triangle CDO}.

同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD:DCで高さが等しいので、

{BD \over DC}={\triangle BDA \over \triangle CDA}.

この2式より、

{BD \over DC}={\triangle BDA - \triangle BDO \over \triangle CDA - \triangle CDO}={\triangle BOA \over \triangle COA}.

三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE:EAで高さが等しいので、

{CE \over EA}={\triangle CEO \over \triangle AEO}.

同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE:EAで高さが等しいので、

{CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.

この2式より、

{CE \over EA}={\triangle CEB - \triangle CEO \over \triangle AEB - \triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.

すなわち、定理の左辺は

{\triangle AOC \over \triangle BOC} \cdot {\triangle BOA \over \triangle COA} \cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}

であるので1に等しい。

メネラウスの定理を使う証明[編集]

チェバの定理はメネラウスの定理を使って容易に証明できる[3]。 三角形ACFに対して線分BOEが交差するので、メネラウスの定理より、

\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、

\frac{BA}{AF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1.

チェバの定理はこの2つの式の比を計算することで導くことができる。

[編集]

チェバの定理のもまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。ここで、「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。

脚注[編集]

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  1. ^ Weisstein
  2. ^ Russell (1905, Ch. 1 §7 Ceva's Theorem)
  3. ^ Hopkins (1902, Art. 986)

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]