スピン群

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数学 において、 スピン群(-ぐん、英:spin group) Spin(n) は特殊直交群 SO(n) の二重被覆であり、従って、以下に記すリー群の短完全系列が存在する。

1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1

n > 2 に対し、Spin(n) は単連結であり、よって SO(n) の普遍被覆である。 従って、リー群 Spin(n) の次元は n(n − 1)/2 と特殊直交群と同じであり、リー環も特殊直交群のものと同じである。

Spin(n) は、クリフォード多元環 Cℓ(n) の乗法可逆元からなる部分群として構成できる。 n 次元実ユークリッド空間 Rn の標準的正値 2 次形式に対するクリフォード多元環および偶クリフォード多元環を夫々 Cℓ(n)、C0(n) と書く。 Cℓ(n) の乗法可逆元全体 Cℓ(n)× は乗法群になり、C0(n) の乗法可逆元全体 C0(n)× はその部分群になる。 XCℓ(n)× に対して、

ψX : Cℓ(n)∋ YXYX−1Cℓ(n)

Cℓ(n) の内部自己同型である。 一般クリフォード群

Γ(n)={XCℓ(n)×|ψX(Rn)⊆Rn

は、Cℓ(n)× の部分群で、特殊クリフォード群

Γ0(n)=Γ(n)∩C0(n)×

も部分群である。 Cℓ(n) の主逆自己同型を J と書くとき、XΓ(n) のノルム

ν(X)=XJ(X)

Cℓ(n) の中心の可逆元である。 準同型としてのノルム写像 νΓ0(n) への制限の核 Ker(ν|Γ0(n)) は、Spin(n) になる。

偶然的な同型[編集]

低次元においては、古典リー群の「偶然的な同型」と呼ばれる同型が存在する。 例えば、低次元スピン群とある種の古典リー群の間に同型が存在する。 特に、

Spin(1) = O(1)
Spin(2) = U(1)
Spin(3) = Sp(1) = SU(2)
Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)
Spin(5) = Sp(2)
Spin(6) = SU(4)

n = 7,8 においては、この様な同型の名残が見られるが、これより高次の n においては、この様な同型は完全になくなってしまう。

関連項目[編集]