サーモンの定理

サーモンの定理（サーモンのていり、英: Salmon's theorem）は、ジョージ・サーモンに因んで命名された幾何学の諸定理。

極線に関する定理

$O$ を中心とする円と任意の点 $A,B$ について、 $B,A$ の極線への $A,B$ の直交射影（垂足）を $P,Q$ としたとき、 ${\frac {OA}{OB}}={\frac {OP}{OQ}}$ が成立する^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]。

この定理に関して、澤山勇三郞は次の一般化を示した^[6]。

円錐曲線 $S$ と任意の点 $A,B$ に関して、 $A,B$ の極線の $A,B$ を通る垂線と $S$ の一方の軸との交点をそれぞれ $M,N$ 、 $B,A$ の極線への $A,B$ の直交射影を $P,Q$ としたとき、 ${\frac {AM}{BN}}={\frac {AP}{BQ}}$ が成立する。

弦に関する定理

円周 $O$ 上の任意の一点 $P$ を通る3つの弦を直径とする円をそれぞれ書く。3円の $P$ でない方の交点は共線である^[2]^[7]。これは $O$ と3円の交点が成す三角形のシムソン線となる。

この定理には小倉金之助による一般化が存在する^[8]。

楕円に関する定理

2つの共焦点楕円に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。ビリヤードの球の様に外側の楕円で跳ね返るようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続ける^[1]。

円錐曲線に関する定理

ある三角形とその極三角形の配景の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。

2つの円錐曲線 $S,S'$ について、 $S'$ に内接する任意の三角形が $S$ に関して自共役であるとする。このとき $S'$ に内接する三角形の $S$ に関する極は $S'$ 上にある。 $S$ に外接する三角形の $S'$ に関する軸は $S$ に接する^[2]。

他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する^[9]。

ケイリー-サーモンの定理

円に内接する六角形 $abcdef$ において、たとえば $ab,cd$ の交点を $(ab, cd)$ と表す。 $(ab, de),(bc, ef),(cd, fa)$ はパスカルの定理より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線を ${\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\de&bf&bc\end{Bmatrix}}$ と書く。

今、それぞれ $ab,cd,ef$ 、 $de,fa,bc$ 、 $cf,be,ad$ の成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺

${\begin{matrix}ab&cd&ef,\\{\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\de&bf&ac\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}cd&bf&ae\\af&ce&bd\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}ef&bd&ac\\bc&ae&df\end{Bmatrix}},\\{\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\cf&bd&ae\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}cd&bf&ae\\be&ac&df\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}ef&bd&ac\\ad&ce&bf\end{Bmatrix}},\\\end{matrix}}$

からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という^[2]^[10]。アーサー・ケイリーの名を冠する。

他、三次曲面（英語版）や代数曲線に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある^[11]^[12]^[13]。

三角形に関しては、重心、垂心、外心、九点円の中心（英語版）が調和点列を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともある^[14]。

出典

^ ^a ^b Mathworld
^ ^a ^b ^c ^d ジョージ・サーモン著、小倉金之助訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年。NDLJP:952208。
^ 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法』長沢亀之助、1907年、471頁。NDLJP:1087163。
^ N, E. H. (1954-05). “2405. Notes on conics. 17. Salmon's Theorem” (英語). The Mathematical Gazette 38 (324): 125–126. doi:10.2307/3609833. ISSN 0025-5572.
^ Phillips, William Henry Harrison（英語）『Elements of Geometry: And the First Principles of Modern Geometry』Sheldon & Company、1878年。
^ 森本清吾 (1938). 沢山勇三郎全集. 岩波書店. NDLJP:1239383
^ 山崎栄作『最新高等平面幾何学通論』内田老鶴圃、1930年、51頁。NDLJP:1223370。
^ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第2巻平面之部』山海堂、1913年。NDLJP:1082037。
^ 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、113頁。NDLJP:1211458。
^ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂、1913年、505頁。doi:10.11501/930885。
^ arXiv:1804.08025
^ Hirschfeld, J. W. P.、Korchmaros, Gabor、Torres, Fernando（英語）『Algebraic Curves over a Finite Field』Princeton University Press、2013年3月25日。ISBN 978-1-4008-4741-9。
^ Beltrametti, Mauro (2009) (英語). Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties: A Classical View of Algebraic Geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-064-7
^ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника アーカイブ 2020年2月25日 - ウェイバックマシン. — Одесса, 1902. — С. 47. Глава II, п.47

参考文献

Ефремов Д.（Russian）『Новая геометрия треугольника』Library Genesis、1902年、30頁。
Элементарная геометрия. Т. 1, Планиметрия, преобразования плоскости / Èlementarnaâ geometriâ. T. 1, Planimetriâ, preobrazovaniâ ploskosti. Издательство МЦНМО, Moskva. (2004). p. 65. ISBN 5-94057-170-0. OCLC 749678381

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Salmons' Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

[:0-1] Mathworld

[:3-2] ジョージ・サーモン著、小倉金之助訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年。NDLJP:952208。

[3] 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法』長沢亀之助、1907年、471頁。NDLJP:1087163。

[4] N, E. H. (1954-05). “2405. Notes on conics. 17. Salmon's Theorem” (英語). The Mathematical Gazette 38 (324): 125–126. doi:10.2307/3609833. ISSN 0025-5572.

[5] Phillips, William Henry Harrison（英語）『Elements of Geometry: And the First Principles of Modern Geometry』Sheldon & Company、1878年。

[6] 森本清吾 (1938). 沢山勇三郎全集. 岩波書店. NDLJP:1239383

[7] 山崎栄作『最新高等平面幾何学通論』内田老鶴圃、1930年、51頁。NDLJP:1223370。

[8] Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第2巻平面之部』山海堂、1913年。NDLJP:1082037。

[9] 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、113頁。NDLJP:1211458。

[10] Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂、1913年、505頁。doi:10.11501/930885。

[11] rXiv:1804.08025

[12] Hirschfeld, J. W. P.、Korchmaros, Gabor、Torres, Fernando（英語）『Algebraic Curves over a Finite Field』Princeton University Press、2013年3月25日。ISBN 978-1-4008-4741-9。

[13] Beltrametti, Mauro (2009) (英語). Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties: A Classical View of Algebraic Geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-064-7

[14] Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника アーカイブ 2020年2月25日 - ウェイバックマシン. — Одесса, 1902. — С. 47. Глава II, п.47

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