グロス=コブリッツの公式

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数学において、 Gross and Koblitz (1979) によって導入されたグロス=コブリッツの公式(グロス=コブリッツのこうしき、: Gross–Koblitz formula)とは、P進ガンマ関数の値の積を用いてあるガウス和を表現したものである。通常のガンマ関数に対するチョウラ=セルバーグの公式と類似のものである。ハッセ=ダベンポートの関係式を暗に意味し、シュティッケルベルガーの定理英語版を一般化するものである。Boyarsky (1980) は、Dwork の結果を用いてグロス=コブリッツの公式に対する別証明を与え、Robert (2001) はある初等的な証明を与えた。

内容[編集]

グロス=コブリッツの公式とは、ガウス和 τ を p-進ガンマ関数 Γp によって表現した次の式のことを言う。

\tau_q(r) = -\pi^{s_p(r)}\prod_{0\leq i <f}\Gamma_p(r^{(i)}/(q-1)).

但し記号は次のようなものとする。

  • q は素数 p のべき pf
  • r は 0 ≤ r < q–1 を満たす整数。
  • r(i) は基 p 展開が r のはじめの f 個のディジットについての巡回置換であるような整数。
  • sp(r) は基 pr のディジットの和。
  • τ は次のガウス和。
\tau_q(r) = \sum_{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta_\pi^{\text{Tr}(a)}.
ただしこの和は拡張 Qp(π) 内にある 1 の根について取られる。
  • ΓpP進ガンマ関数
  • π は πp – 1 = –p を満たすもの。
  • ζπ は π2 を法として 1+π と合同な、1 の第 p 番目の根。

参考文献[編集]