オストロフスキーの定理

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数論において、オストロフスキーの定理 (Ostrowski's theorem) とは、有理数Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進付値に同値であるという定理である[1]。1916年にアレクサンドル・オストロフスキー英語版 (Alexander Ostrowski) によって証明された。

定義[編集]

K 上の 2つの絶対値英語版付値 は、ある実数 c > 0 が存在して

全ての に対し、

となるとき、同値であると定義される。

任意の体 K 上の自明な絶対値は、

と定義される。

有理数体 Q 上の実絶対値は、実数上の標準的絶対値で、

と定義される。添え字は無限大の代わりに 1 とすることもある。

素数 p に対し、Q 上の p-進絶対値は、次のように定義される。0 ではない任意の有理数 x は、どの2つも互いに素な整数 a, b, p および整数 n により一意的に と書くことができる。そこで

と定義する。

他のオストロフスキーの定理[編集]

他にもオストロフスキーの定理と呼ばれる定理が存在し、それは「アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、(代数的にも位相的にも)実数体か複素数体に同型である」ということを主張する[2]

脚注[編集]

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  1. ^ Koblitz, Neal (1984). P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 2012年8月24日閲覧. "Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ onis equivalent to | |p for some prime p or for p = ∞." 
  2. ^ Cassels (1986) p. 33

参考文献[編集]

関連項目[編集]