はめ込み

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3次元空間にはめ込まれたクラインの壺

数学において,はめ込み (immersion) は可微分多様体の間の可微分写像であって微分がいたるところ単射であるもののことである[1].明示的には,f: MN がはめ込みであるとは,

M のすべての点 p において単射関数であることをいう(ここで TpX は多様体 X の点 p における接空間を表す).同じことであるが,f がはめ込みであるとは,その微分が M の次元に等しい定数階数英語版を持つことである[2]

関数 f それ自身は単射である必要はない.

関連概念は埋め込みである.滑らかな埋め込みは位相的な埋め込みでもある単射はめ込み f: MN であり,したがって MN におけるその像に微分同相である.はめ込みはちょうど局所的な埋め込みである――つまり,任意の点 xM に対して,x のある近傍 UM が存在して,f: UN が埋め込みとなり,逆に局所的な埋め込みははめ込みである[3].無限次元多様体に対して,これははめ込みの定義として取られることもある[4]

埋め込みではない単射にはめ込まれた部分多様体英語版

Mコンパクトならば,単射なはめ込みは埋め込みであるが,M がコンパクトでなければ,そうとは限らない;連続全単射と同相を比較せよ.

正則ホモトピー[編集]

多様体 M から N への2つのはめ込み fg の間の正則ホモトピー英語版は次のような可微分関数 H: M × [0, 1] → N と定義される:すべての t ∈ [0, 1] に対して,すべての xM に対して Ht(x) = H(x, t) によって定義される関数 Ht: MN ははめ込みで,H0 = f, H1 = g である.正則ホモトピーはしたがってはめ込みを通したホモトピーである.

分類[編集]

ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し,2m < n + 1 に対して m 次元多様体から n 次元多様体へのすべての写像 f: MmNn がはめ込みにホモトープであること,そして 2m < n に対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した.これらがホイットニーのはめ込み定理英語版ホイットニーの埋め込み定理英語版である.

スティーブン・スメールははめ込み f: MmRn の正則ホモトピー類をあるスティーフェル多様体英語版ホモトピー群として表した.sphere eversion英語版 は特に著しい結果であった.

Morris Hirsch英語版 は Smale の表示を任意の n 次元多様体 Nn 内の任意の m 次元多様体 Mm のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した.

はめ込みの Hirsch–Smale 分類は Mikhail Gromov英語版 によって一般化された.

存在[編集]

メビウスの帯は接束が非自明だから余次元 0 にはめ込めない.

余次元 0[編集]

多重点[編集]

例と性質[編集]

  • クラインの壺や,すべての他の向き付け不可能な閉曲面は,3次元空間にはめ込むことができるが,埋め込むことはできない.
四葉英語版,4弁のバラ.
  • k 弁のバラは円周の平面へのただ1つの k 重点を持ったはめ込みである.k は任意の奇数でよいが,偶数なら4の倍数で,8の字はバラでない.
  • Whitney–Graustein の定理英語版により,円周の平面へのはめ込みの正則ホモトピー類は回転数によって分類され,この数は代数的に(すなわち符号付きで)数えた二重点の個数でもある.
  • 球面は表裏をひっくり返すことができる英語版:標準的な埋め込み f: S2R3 ははめ込みの正則ホモトピー ft: S2R3 によって f1 = −f0: S2R3 と結ばれる.
  • ボーイ曲面実射影平面の3次元空間へのはめ込みである;したがって球面の2対1のはめ込みでもある.
  • モラン曲面英語版は球面のはめ込みである;これとボーイ曲面はともに sphere eversion の途中のモデルとして生じる.

はめ込まれた平面曲線[編集]

この曲線の全曲率英語版6π で,turning number3 だが,p についての回転数2 である.

はめ込まれた平面曲線は well-defined な Turning number をもち,全曲率英語版2π で割ったものとして定義できる.これは Whitney–Graustein の定理英語版により正則ホモトピーで不変である――位相幾何学的には,それはガウス写像の次数,あるいは同じことであるが,原点についての(消えない)unit tangent の回転数である.さらに,これは完全不変量である――同じ回転数を持つ任意の2つの平面曲線は正則ホモトピックである.

すべてのはめ込まれた平面曲線は交差する点を分離して埋め込まれた空間曲線に持ちあがるが,これは高次元では正しくない.追加の情報(どの紐が上にあるか)により,はめ込まれた平面曲線は knot diagram英語版 を生じ,これは結び目理論において中心的に興味を持たれる.はめ込まれた平面曲線は正則ホモトピーの違いを除いて回転数によって決定されるが,結び目は非常に豊かで複雑な構造を持つ.

3次元空間にはめ込まれた曲面[編集]

一般化[編集]

はめこみ理論の遠大な一般化はホモトピー原理英語版である:はめこみの条件(微分の階数がつねに k)は,関数の偏微分のことばで述べられるから,偏微分関係式英語版 (partial differential relation, PDR) と考えることができる.すると Smale–Hirsch のはめ込み理論はこれがホモトピー論に帰着されるという結果であり,ホモトピー原理は PDR がホモトピー論に帰着する一般の条件や理由を与える.

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ This definition is given by Bishop & Crittenden 1964, p. 185, Darling 1994, p. 53, do Carmo 1994, p. 11, Frankel 1997, p. 169, Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, p. 12, Kobayashi & Nomizu 1963, p. 9, Kosinski 2007, p. 27, Szekeres 2004, p. 429.
  2. ^ This definition is given by Crampin & Pirani 1994, p. 243, Spivak 1999, p. 46.
  3. ^ 局所微分同相に基づいたこの種の定義は Bishop & Goldberg 1968, p. 40, Lang 1999, p. 26 によって与えられている.
  4. ^ この種の無限次元の定義は Lang 1999, p. 26 によって与えられている.

参考文献[編集]

  • Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and immersions, ISBN 978-0-8218-4612-4, https://books.google.co.jp/books?id=JcMwHWSBSB4C&redir_esc=y&hl=ja, translation Kiki Hudson 
  • Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985), Singularities of Differentiable Maps: Volume 1, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3187-9 
  • Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964), Geometry of manifolds, New York: Academic Press, ISBN 978-0-8218-2923-3 
  • Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6 
  • Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4 
  • Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998), “Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space”, Knot theory (Warsaw, 1995), Banach Center Publ., 42, Polish Acad. Sci., Warsaw, pp. 29–47, MR1634445, CiteSeerx10.1.1.44.1505 .
  • Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998), Knotted Surfaces and Their Diagrams, Mathematical Surveys and Monographs, 55, pp. 258, ISBN 978-0-8218-0593-0 
  • Carter, Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2004), Surfaces in 4-space, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 142, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-10162-9, ISBN 3-540-21040-7, MR2060067 .
  • Cohen, Ralph L. (1985), “The immersion conjecture for differentiable manifolds”, Annals of Mathematics, Second Series 122 (2): 237–328, doi:10.2307/1971304, MR808220 .
  • Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994), Applicable differential geometry, Cambridge, England: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23190-9 
  • Darling, Richard William Ramsay (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8 .
  • do Carmo, Manfredo Perdigao (1994), Riemannian Geometry, ISBN 978-0-8176-3490-2 
  • Frankel, Theodore (1997), The Geometry of Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38753-1 
  • Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian Geometry (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0 
  • Gromov, M. (1986), Partial differential relations, Springer, ISBN 3-540-12177-3 
  • Hirsch, Morris W. (1959), “Immersions of manifolds”, Transactions of the American Mathematical Society 93: 242–276, doi:10.2307/1993453, MR0119214 .
  • Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, New York: Wiley-Interscience 
  • Koschorke, Ulrich (1979), “Multiple points of immersions, and the Kahn-Priddy theorem”, Mathematische Zeitschrift 169 (3): 223–236, doi:10.1007/BF01214837, MR554526 .
  • Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993], Differential manifolds, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46244-8 
  • Lang, Serge (1999), Fundamentals of Differential Geometry, Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98593-0 
  • Massey, W. S. (1960), “On the Stiefel-Whitney classes of a manifold”, American Journal of Mathematics 82: 92–102, doi:10.2307/2372878, MR0111053 .
  • Smale, Stephen (1958), “A classification of immersions of the two-sphere”, Transactions of the American Mathematical Society 90: 281–290, doi:10.2307/1993205, MR0104227 .
  • Smale, Stephen (1959), “The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces”, Annals of Mathematics, Second Series 69: 327–344, doi:10.2307/1970186, MR0105117 .
  • Spivak, Michael (1999) [1970], A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1), Publish or Perish, ISBN 0-914098-70-5 
  • Spring, David (2005), “The golden age of immersion theory in topology: 1959–1973: A mathematical survey from a historical perspective”, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 42 (2): 163–180, doi:10.1090/S0273-0979-05-01048-7, MR2133309 .
  • Szekeres, Peter (2004), A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space and differential geometry, Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82960-1 
  • Wall, C. T. C. (1999), Surgery on compact manifolds, Mathematical Surveys and Monographs, 69 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/069, ISBN 0-8218-0942-3, MR1687388 .

外部リンク[編集]