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完全系（かんぜんけい、英: complete system^[1]）とは、ある関数やベクトルの集合が、任意の関数やベクトルなどを線形結合で展開できる時の集合のこと。

ベクトルの完全系

ヒルベルト空間 ${\mathcal {H}}$ 上のどんなベクトル $|\psi \rangle$ も、同じ ${\mathcal {H}}$ 上のベクトル達 $\{|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots \}$ の線形結合で表せる場合、 $\{|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots \}$ は ${\mathcal {H}}$ の完全系を成す、と言う。

よって、任意のベクトル $|\psi \rangle$ を、以下のように表せる。

|\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle +\cdots =\sum _{n}c_{n}|n\rangle

完全性関係

以下の関係を完全性関係と呼ぶ。

\sum _{n}|n\rangle \langle n|={\hat {1}}

$\{|n\rangle \}$ がこの完全性関係を満たす場合、 $\{|n\rangle \}$ は完全形を成す。

逆に、 $\{|n\rangle \}$ が完全系ならば、 $\{|n\rangle \}$ について完全性関係が成り立つ。

関数の完全系

任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を完全系と呼ぶ。

例

$\{1,\cos x,\cos 2x,\cdots ,\sin x,\sin 2x,\cdots \}\$ は完全系である。

よって、 $-\pi \leq x\leq \pi$ の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。

また、球面調和関数やルジャンドル多項式も、以下の直行関係を満たす完全系である。

\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta d\theta d\varphi =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}

脚注

[脚注の使い方]

^ 文部省、日本物理学会編『学術用語集物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。

参考文献

J.J. Sakurai『現代の量子力学』上、桜井明夫訳、吉岡書店〈物理学叢書56〉、1989年2月。ISBN 978-4-8427-0222-3。

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+'''完全系'''（かんぜんけい、{{Lang-en-short|complete system}}<ref>{{Cite book|和書
-ある関数やベクトルの集合が、任意の関数やベクトルなどを線形結合で展開できる時、その集合を'''完全系'''と呼ぶ。
+|author = [[文部省]]
+|coauthors = [[日本物理学会]]編
+|title = [[学術用語集]] 物理学編
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+|year = 1990
+|publisher = [[培風館]]
+|isbn = 4-563-02195-4
+|page =
+}}</ref>）とは、ある[[関数]]や[[ベクトル]]の[[集合]]が、任意の関数やベクトルなどを[[線形結合]]で[[展開]]できる時の集合のこと。
-==ベクトルの完全系==
+== ベクトルの完全系 ==
-[[ヒルベルト空間]]<math>\mathcal{H}</math>上のどんなベクトル<math>|\psi\rangle</math>も、同じ<math>\mathcal{H}</math>上のベクトル達<math>\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}</math>の[[線形結合]]で表せる場合、<math>\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}</math>は<math>\mathcal{H}</math>の'''完全系'''を成すと言う。
+[[ヒルベルト空間]] <math>\mathcal{H}</math> 上のどんなベクトル <math>|\psi\rangle</math> も、同じ <math>\mathcal{H}</math> 上のベクトル達 <math>\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}</math> の線形結合で表せる場合、<math>\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}</math> は <math>\mathcal{H}</math> の完全系を成す、と言う。
-よって任意のベクトル<math>|\psi\rangle</math>を以下のように表せる。
+よって、任意のベクトル <math>|\psi\rangle</math> を、以下のように表せる。
-:<math>| \psi \rangle = c_1 | 1 \rangle + c_2 | 2 \rangle + \cdots =\sum_n c_n |n\rangle </math>
+: <math>| \psi \rangle = c_1 | 1 \rangle + c_2 | 2 \rangle + \cdots =\sum_n c_n |n\rangle </math>
+=== 完全性関係 ===
-===完全性関係===
 以下の関係を'''完全性関係'''と呼ぶ。
-:<math>\sum_n | n \rangle \langle n | = \hat{1} </math>
+: <math>\sum_n | n \rangle \langle n | = \hat{1} </math>
-<math>\{ |n\rangle \}</math>がこの完全性関係を満たす場合、<math>\{ |n\rangle \}</math>は完全形を成す。
+<math>\{ |n\rangle \}</math> がこの完全性関係を満たす場合、<math>\{ |n\rangle \}</math> は完全形を成す。
-逆に<math>\{ |n\rangle \}</math>が完全系ならば、<math>\{ |n\rangle \}</math>について完全性関係が成り立つ。
+逆に、<math>\{ |n\rangle \}</math> が完全系ならば、<math>\{ |n\rangle \}</math> について完全性関係が成り立つ。
-==関数の完全系==
+== 関数の完全系 ==
-任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を'''完全系'''と呼ぶ。
+任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を完全系と呼ぶ。
-===例===
+=== 例 ===
-<math>\{ 1, \cos x, \cos 2x,\cdots, \sin x, \sin 2x, \cdots \} \ </math>は完全系である。
+<math>\{ 1, \cos x, \cos 2x,\cdots, \sin x, \sin 2x, \cdots \} \ </math> は完全系である。
-よって<math>-\pi \le x \le \pi</math>の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。
+よって、<math>-\pi \le x \le \pi</math> の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。
-また、[[球面調和関数]]や[[ルジャンドル多項式]]も以下の直行関係を満たす完全系である。
+また、[[球面調和関数]]や[[ルジャンドル多項式]]も、以下の直行関係を満たす完全系である。
+: <math>\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, Y_{\ell'}^{m'*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta d\theta d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}</math>
+: <math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
+== 脚注 ==
-:<math>\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, Y_{\ell'}^{m'*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta d\theta d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}</math>
+{{脚注ヘルプ}}
-:<math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
+{{Reflist}}
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