魔方陣

魔方陣(まほうじん)とは、正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・斜めのいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。特に1から方陣のマスの総数までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。

このときの一列の和は、

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n^{2}}i={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}

と計算できる。

なお、よく書き間違えられるが「魔法陣」ではない。しかし神秘的な力があるとされ、魔法の護符にも用いられている。

魔方陣の例

3×3の魔方陣

1×1の魔方陣は明らかであり、2×2の魔方陣は1,2,3,4を使う限り存在しない。したがって3×3のものが意味のある最小の魔方陣になる。

3×3の魔方陣（三方陣）は、対称形を除けば下記の形しか存在しない。各列の合計は15になる。

${\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}$

三方陣の暗記法として、

「憎し(294)と思えば、七五三(753)、六一坊主に蜂(618)が刺す」
「憎し(294)と思えば、七五三(753)、六一八(618)はみな同じ」
「フクシ(294)マの、七五三(753)は、ロイヤ(618)ルホテルで」

などが知られている。

九星などで用いられる「河図洛書」（洛書）の図は次のとおりであり、上の図の対称形になっている。

九星図の配置
4	9	2
3	5	7
8	1	6

また西洋数秘術のサトゥルヌス魔方陣（土星魔方陣）は次の図のとおりである。

サトゥルヌス魔方陣
6	1	8
7	5	3
2	9	4

6×6の魔方陣

6×6の魔方陣は、一般的な作り方は知られていない。しかし、次の久留島の魔方陣が有名である。 ${\begin{bmatrix}1&2&3&34&35&36\\31&32&15&4&23&6\\30&29&28&9&8&7\\12&11&10&27&26&25\\24&20&22&21&5&19\\13&17&33&16&14&18\end{bmatrix}}$

魔方陣の作り方

奇数×奇数の魔方陣の作り方

上段の中央を1にする
右上に次の数字を置いていく（最上段の上は最下段になる。下の図を参照。）
右上が埋まっていたら一つ下に次の数字を置く
再び右上へと数字を埋めていく
後は3,4の繰り返しで完成

例:7×7

${\begin{bmatrix}-&-&-&1&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&-\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}-&-&-&1&-&-&-\\-&-&7&-&-&-&-\\-&6&-&-&-&-&-\\5&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&4\\-&-&-&-&-&3&-\\-&-&-&-&2&-&-\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}-&-&-&1&-&-&-\\-&-&7&-&-&-&-\\-&6&8&-&-&-&-\\5&-&-&-&-&-&-\\-&-&-&-&-&-&4\\-&-&-&-&-&3&-\\-&-&-&-&2&-&-\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}-&-&-&1&10&-&-\\-&-&7&9&-&-&-\\-&6&8&-&-&-&-\\5&14&-&-&-&-&-\\13&-&-&-&-&-&4\\-&-&-&-&-&3&12\\-&-&-&-&2&11&-\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}30&39&48&1&10&19&28\\38&47&7&9&18&27&29\\46&6&8&17&26&35&37\\5&14&16&25&34&36&45\\13&15&24&33&42&44&4\\21&23&32&41&43&3&12\\22&31&40&49&2&11&20\\\end{bmatrix}}$

下段の中央を1にしたり、左斜めに進める方法もあるが、これらは対称形なのですべて同じ方法。

4×4の魔方陣の作り方

0と1とを同数だけ要素とした4x4方陣にて　縦・横・対角上の和が一致する組み合わせは、下記のABCDE5通り。

これらを下記のように組合せて　2進数4桁の各位に割り当てれば、0から15までの数からなる4方陣が作れる。さらに全体に1ずつ加算することで、普通の1から16までの数からなる魔方陣が得られる。

A= ${\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}$ ,B= ${\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\\end{bmatrix}}$ ,C= ${\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\\end{bmatrix}}$ ,D= ${\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}$ ,E= ${\begin{bmatrix}0&1&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\\end{bmatrix}}$

All1＝ ${\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\\end{bmatrix}}$

Sample: 8*A + 4*B + 2*A' + B' + All1

= ${\begin{bmatrix}8&8&0&0\\0&0&8&8\\8&8&0&0\\0&0&8&8\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}4&0&4&0\\0&4&0&4\\0&4&0&4\\4&0&4&0\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}2&0&2&0\\2&0&2&0\\0&2&0&2\\0&2&0&2\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&0\\1&0&0&1\\0&1&1&0\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\\end{bmatrix}}$

= ${\begin{bmatrix}8+4+2+1+1&8+0+0+0+1&0+4+2+0+1&0+0+0+1+1\\0+0+2+0+1&0+4+0+1+1&8+0+2+1+1&8+4+0+0+1\\8+0+0+1+1&8+4+2+0+1&0+0+0+0+1&0+4+2+1+1\\0+4+0+0+1&0+0+2+1+1&8+4+0+1+1&8+0+2+0+1\\\end{bmatrix}}$

= ${\begin{bmatrix}16&9&7&2\\3&6&12&13\\10&15&1&8\\5&4&14&11\\\end{bmatrix}}$

4x4魔方陣は880通りあることが知られており、上記の方法にてその6割にあたる528通りを作れる。

特に、AとBとだけを向きを変えて4通り組み合わせることで汎対角方向の数の和も一致する完全魔方陣48種類を作れる。

5×5の魔方陣の作り方

下図で、A,B,C,D,E には 1,2,3,4,5 を F,G,H,I,J には 0,5,10,15,20を、任意の順に割り当てることで、魔方陣が作れる

（先にAに3、Fに10を割り当て済みのパターンでは、残り4種類の数字の配置が自由）

${\begin{bmatrix}A&B&C&D&E\\C&D&E&A&B\\E&A&B&C&D\\B&C&D&E&A\\D&E&A&B&C\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}F&G&H&I&J\\I&J&F&G&H\\G&H&I&J&F\\J&F&G&H&I\\H&I&J&F&G\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}B&C&D&E&3\\C&D&E&3&B\\D&E&3&B&C\\E&3&B&C&D\\3&B&C&D&E\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}10&G&H&I&J\\J&10&G&H&I\\I&J&10&G&H\\H&I&J&10&G\\G&H&I&J&10\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}A&B&C&D&E\\C&D&E&A&B\\E&A&B&C&D\\B&C&D&E&A\\D&E&A&B&C\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}10&G&H&I&J\\J&10&G&H&I\\I&J&10&G&H\\H&I&J&10&G\\G&H&I&J&10\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}3&B&C&D&E\\E&3&B&C&D\\D&E&3&B&C\\C&D&E&3&B\\B&C&D&E&3\\\end{bmatrix}}$ 　+　 ${\begin{bmatrix}F&G&H&I&J\\H&I&J&F&G\\J&F&G&H&I\\G&H&I&J&F\\I&J&F&G&H\\\end{bmatrix}}$

4の倍数×4の倍数の魔方陣の作り方

4×4のブロックに区切り、対角線をイメージする
左上から右へ、1から順々に数え上げ、対角線にあたるところだけに数字を置く
右下から左へ、1から順々に数え上げ、対角線にあたらないところだけに数字を置く

例 : 8×8

${\begin{bmatrix}\diagdown &-&-&\diagup &\diagdown &-&-&\diagup \\-&\diagdown &\diagup &-&-&\diagdown &\diagup &-\\-&\diagup &\diagdown &-&-&\diagup &\diagdown &-\\\diagup &-&-&\diagdown &\diagup &-&-&\diagdown \\\diagdown &-&-&\diagup &\diagdown &-&-&\diagup \\-&\diagdown &\diagup &-&-&\diagdown &\diagup &-\\-&\diagup &\diagdown &-&-&\diagup &\diagdown &-\\\diagup &-&-&\diagdown &\diagup &-&-&\diagdown \\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&-&-&4&5&-&-&8\\-&10&11&-&-&14&15&-\\-&18&19&-&-&22&23&-\\25&-&-&28&29&-&-&32\\33&-&-&36&37&-&-&40\\-&42&43&-&-&46&47&-\\-&50&51&-&-&54&55&-\\57&-&-&60&61&-&-&64\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&63&62&4&5&59&58&8\\56&10&11&53&52&14&15&49\\48&18&19&45&44&22&23&41\\25&39&38&28&29&35&34&32\\33&31&30&36&37&27&26&40\\24&42&43&21&20&46&47&17\\16&50&51&13&12&54&55&9\\57&7&6&60&61&3&2&64\\\end{bmatrix}}$

LUX法

LUX法は、ジョン・ホートン・コンウェイによって考案された (4n+2)×(4n+2) の魔方陣を作る方法である。

元となる (2n+1)×(2n+1) の魔方陣を用意して、それぞれの値から1を引いて4倍する。

${\begin{bmatrix}64&92&0&28&56\\88&16&24&52&60\\12&20&48&76&84\\36&44&72&80&8\\40&68&96&4&32\\\end{bmatrix}}$

(2n+1)×(2n+1)の行列を作り、上から n+1行をL、下から n-1行を X、残った行を U とする。その後中央の L とその下の U を入れ替える。

${\begin{bmatrix}L&L&L&L&L\\L&L&L&L&L\\L&L&U&L&L\\U&U&L&U&U\\X&X&X&X&X\\\end{bmatrix}}$

この行列と元の魔方陣を加えたものを作る。

${\begin{bmatrix}64+L&92+L&0+L&28+L&56+L\\88+L&16+L&24+L&52+L&60+L\\12+L&20+L&48+U&76+L&84+L\\36+U&44+U&72+L&80+U&8+U\\40+X&68+X&96+X&4+X&32+X\\\end{bmatrix}}$

$L={\begin{bmatrix}4&1\\2&3\\\end{bmatrix}}U={\begin{bmatrix}1&4\\2&3\\\end{bmatrix}}X={\begin{bmatrix}1&4\\3&2\\\end{bmatrix}}$ を代入すると、求める大きさの魔方陣が完成する。

${\begin{bmatrix}68&65&96&93&4&1&32&29&60&57\\66&67&94&65&2&3&30&31&58&59\\92&89&20&17&28&25&56&53&64&61\\90&91&18&19&26&27&54&55&62&63\\16&13&24&21&49&52&80&77&88&85\\14&15&22&23&50&51&78&79&86&87\\37&40&45&48&76&73&81&84&9&12\\38&39&46&47&74&75&82&83&10&11\\41&44&69&72&97&100&5&8&33&36\\43&42&71&70&99&98&7&6&35&34\\\end{bmatrix}}$

ユピテル魔方陣

西洋数秘術のユピテル魔方陣（木星魔方陣）は次の図のとおりである。各ラインの和は34（女性数の最初2と男性素数17（ピタゴラス学派では不幸とする）の積）になっている。縦、横、斜めのいずれの列も和が等しくなるように数字を並べたばかりでなく、右上、右下、左上、左下のそれぞれ四マスも、中央の四マスも隅の四マスもひとつ残らず和が34になっている。 ${\begin{bmatrix}4&14&15&1\\9&7&6&12\\5&11&10&8\\16&2&3&13\\\end{bmatrix}}$

アルブレヒト・デューラーの『メランコリア1』という作品には砂時計隣に4×4の次の図のユピテル魔方陣が描かれている。この魔方陣の中には、偉業を達成した制作年の1514が埋め込まれている。

${\begin{bmatrix}16&3&2&13\\5&10&11&8\\9&6&7&12\\4&15&14&1\end{bmatrix}}$

特殊な魔方陣

完全方陣

斜め方向の和が、対角線以外でも等しくなるような物を完全方陣または汎魔方陣と呼ぶ。

例: ${\begin{bmatrix}6&12&7&9\\15&1&14&4\\10&8&11&5\\3&13&2&16\end{bmatrix}}$

この図において斜めの和を見ると、

6+1+11+16=12+14+5+3=7+4+10+13=9+15+8+2=34
9+14+8+3=7+1+10+16=12+15+5+2=6+4+11+13=34

が成り立っている。その他、任意の2×2の固まりの合計が34になる。

一辺nが4以上でかつ n≠4k+2 の時、完全方陣が作成可能である。

多重魔方陣

すべての数を乗しても、縦・横の和が一定になる物を多重魔方陣（multimagic square）と呼ぶ。

例: ${\begin{bmatrix}16&41&36&5&27&62&55&18\\26&63&54&19&13&44&33&8\\1&40&45&12&22&51&58&31\\23&50&59&30&4&37&48&9\\38&3&10&47&49&24&29&60\\52&21&32&57&39&2&11&46\\43&14&7&34&64&25&20&53\\61&28&17&56&42&15&6&35\end{bmatrix}}$

図は8×8の魔方陣である。各列の数の合計は260になり、この各数を2乗すると、縦横の各列の和は11180になる。

その他

以下は乗算した結果が等しくなる例

その1: 2のべき乗{1,2,4}と3のべき乗{1,3,9}を掛け合わせたものの例

縦・横・斜めの積がそれぞれ216である。(216=(1×2×4)×(1×3×9))

${\begin{bmatrix}2&9&12\\36&6&1\\3&4&18\end{bmatrix}}$

以下のように分解することで構成要素がより明確になる。

2のべき乗の要素		3のべき乗の要素
${\begin{bmatrix}2&1&4\\4&2&1\\1&4&2\end{bmatrix}}$		${\begin{bmatrix}1&9&3\\9&3&1\\3&1&9\end{bmatrix}}$

その2: 奇数{1,3,5,7}と2のべき乗{1,2,4,8}を掛け合わせたものの例

縦・横・斜めの積がそれぞれ6720である。(6720=(1×3×5×7)×(1×2×4×8))

${\begin{bmatrix}1&24&10&28\\14&20&3&8\\12&2&56&5\\40&7&4&6\end{bmatrix}}$

同様に以下のように分解することで構成要素を明確にできる。

奇数の要素		2のべき乗の要素
${\begin{bmatrix}1&3&5&7\\7&5&3&1\\3&1&7&5\\5&7&1&3\end{bmatrix}}$		${\begin{bmatrix}1&8&2&4\\2&4&1&8\\4&2&8&1\\8&1&4&2\end{bmatrix}}$