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等比数列 （とうひすうれつ、または幾何数列 （きかすうれつ）、英 : geometric progression, geometric sequence ）は、数列 で、隣り合う二項の比 が項番号によらず一定であるようなものである。その比のことを公比 （こうひ、英 : common ratio ）といい、記号 r で表す。例えば 4,12,36,108,… という数列は初項（a で表す）が4であり公比 r が3の等比数列である。r は
r
=
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
等差数列 として扱われる場合が多い）。等比数列は a と r を用いて各項を以下のように計算する。
a
,
a
r
,
a
r
2
,
a
r
3
,
a
r
4
,
…
{\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }
n番目の項 an （一般項）は以下の式で求める。
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a\ r^{n-1}}
一般に第n項 an と第m項 am の関係は
a
n
=
a
m
r
n
−
m
{\displaystyle a_{n}=a_{m}\ r^{n-m}}
数学的性質 等比数列を漸化式 で表すと、
a1 = a, an+1 = r an （n≧1） となる。公比が負の場合は符号 が一項ずつ入れ替わる数列となる。例えば 3,-6,12,-24,… という数列は公比 -2 の等比数列であり、一般項は
a
n
=
3
⋅
(
−
2
)
n
−
1
=
(
−
1
)
n
−
1
3
⋅
2
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}\ 3\cdot 2^{n-1}}
となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。
公比 r が r >1ならば等比数列は初項の符号によって正もしくは負の無限大 に発散 する。収束 する。振動 ）。
形式的に等比数列の一般項の対数 をとると
ln
a
n
=
ln
a
+
(
n
−
1
)
ln
r
{\displaystyle \ln \ {a_{n}}=\ln \ a+(n-1)\ \ln \ r}
となり、数列{ln(an )}は初項 ln a 、公差d=ln r の等差数列の一般項になる。
等比級数（幾何級数） 等比級数は等比数列の項の総和のことをいい、初項から第n+1項までの和は以下の式で定義される。
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
r
0
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}}
(
1
−
r
)
∑
k
=
0
n
r
k
=
(
1
−
r
)
(
r
0
+
r
1
+
r
2
+
r
3
+
⋯
+
r
n
)
=
(
r
0
+
r
1
+
r
2
+
r
3
+
⋯
+
r
n
)
−
(
r
1
+
r
2
+
r
3
+
r
4
+
⋯
+
r
n
+
r
n
+
1
)
=
1
−
r
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=0}^{n}r^{k}&=(1-r)(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n})\\&=(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n})-(r^{1}+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n}+r^{n+1})\\&=1-r^{n+1}\end{aligned}}}
であるので
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
(
1
−
r
n
+
1
)
1
−
r
(
r
≠
1
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)}
r =1では
∑
k
=
0
n
a
=
(
n
+
1
)
a
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a=(n+1)a}
である。第m+1項から第n+1項までの和は
∑
k
=
m
n
a
r
k
=
∑
k
=
0
n
a
r
k
−
∑
k
=
0
m
−
1
a
r
k
=
a
(
r
m
−
r
n
+
1
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}}
1+1/2+1/4+1/8+… という幾何級数が2に収束することを幾何学的に示した図。2はa=1、r=1/2のときの a/(1-r) に等しい。 無限級数 初項から全ての項の和を無限級数 という。-1< r < 1 すなわち |r| <1 ではn→∞の極限で以下の式で求められる値に収束する。
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
lim
n
→
∞
a
(
1
−
r
n
+
1
)
1
−
r
=
lim
n
→
∞
a
1
−
r
−
lim
n
→
∞
a
r
n
+
1
1
−
r
=
a
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}}
a≠0かつ |r| ≧1ではこの級数は収束しない。
a=1の場合の式を r で微分 すると
d
d
r
∑
k
=
0
∞
r
k
=
∑
k
=
0
∞
k
r
k
−
1
=
1
(
1
−
r
)
2
{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}
となり、
∑
k
=
0
∞
k
r
k
=
∑
k
=
0
∞
k
r
k
−
1
r
=
r
(
1
−
r
)
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}r={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}}
が導かれる。
関連項目 
