積位相

位相幾何学とその周辺において、積空間（せきくうかん、英: product space）とは位相空間の族の直積に積位相 (product topology) と呼ばれる自然な位相を入れた空間のことである。この位相は他の、もしかするとより明らかな、箱位相と呼ばれる位相とは異なる。箱位相も積空間に与えることができ、有限個の空間の直積では積位相と一致する。しかしながら、積位相は位相空間の圏における圏論的積であるという意味で「正しい」位相である。（一方箱位相は細かすぎる。）これが積位相が「自然」であるという意味である。

定義

X を i ∈ I によって添え字付けられた位相空間 X_i の直積

$X:=\prod _{i\in I}X_{i},$

とし、p_i: X → X_i を自然な射影とする。X 上の（直）積位相 (product topology) は、すべての射影 p_i が連続となるような最も粗い位相（すなわち開集合の最も少ない位相）として定義される。積位相はチコノフ位相と呼ばれることがある。

積位相での開集合は $\prod _{i\in I}U_{i}$ の形の集合の（有限個または無限個の）合併である。ここで各 U_i は X_i の開集合で、有限個の i に対してのみ U_i ≠ X_i である。とくに、有限積（とくに 2 つの位相空間の積）に対して、X_i の開基の元の積全体は、積 $\prod _{i\in I}X_{i}$ の開基を与える。

X 上の積位相は、i を I の元、U を X_i の開集合として、 p_i⁻¹(U) の形の集合によって生成された位相である。言い換えると、集合 {p_i⁻¹(U)} は X 上の位相の準開基をなす。X の部分集合が開であることと p_i⁻¹(U) の形の有限個の集合の交叉の（無限個でもよい）合併であることは同値である。p_i⁻¹(U) を open cylinder, それらの共通部分を cylinder set と呼ぶことがある。

一般に、各 X_i の開集合の「単なる直積」全体は X 上の箱位相と呼ばれるものの開基を成す。一般に、箱位相は積位相よりも細かいが、有限積に対しては一致する。

例

実数直線 R 上の標準位相から始め、R の n 個のコピーの積にこのように位相を定めれば、Rⁿ 上の通常のユークリッド位相を得る。

カントール集合は離散空間 {0, 1} の可算個のコピーの積に同相であり、無理数全体からなる集合は自然数全体からなる集合（再び各コピーは離散位相を持っている）の可算個のコピーの積に同相である。

いくつかの追加の例は始位相についての記事において与えられる。

性質

積空間 X は、自然な射影と合わせて、次の普遍性によって特徴づけることができる。Y が位相空間で、すべての i ∈ I に対して f_i: Y → X_i が連続写像であれば、ちょうど1つの連続写像 f: Y → X が存在して、すべての i ∈ I に対して、以下の図式が可換図式となる：

Characteristic property of product spaces

これは積空間が位相空間の圏における積であることを示している。上の普遍性から写像 f: Y → X が連続であることと f_i = p_i o f がすべての i ∈ I に対して連続であることが同値であることが従う。多くの場合において component function f_i が連続であることを確認する方が易しい。写像 f: Y → X が連続であるかどうかを確認することは通常より難しい。p_i が連続であるという事実を何らかの方法で使おうとする。

自然な射影 p_i: X → X_i は、連続であることに加えて、開写像である。つまり積空間の任意の開集合は X_i に射影されても開集合のままである。逆は正しくない。W が積空間の部分空間であってすべての X_i への射影が開であっても、W が X において開とは限らない。（例えば $W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}$ を考えよ）。自然な射影は一般には閉写像ではない（例えば閉集合 $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\}$ を考えよ。これの両軸への射影は $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ である）。

積位相は次の事実により各点収束の位相 (topology of pointwise convergence) とも呼ばれる。X における点列（あるいはネット）が収束することとその空間 X_i へのすべての射影が収束することは同値である。とくに、I 上のすべての実数値関数からなる空間 X = R^I を考えると、積空間における収束は関数の各点収束と同じである。

X_i の閉部分集合の任意の積は X における閉集合である。

積位相についての重要な定理はチコノフの定理である：コンパクト空間の任意の積はコンパクトである。これは有限積に対して示すのは容易だが一般の場合の主張は選択公理と同値である。

他の位相的概念との関係

• 分離性
  • T₀ 空間の任意の積は T₀ である。
  • T₁ 空間の任意の積は T₁ である。
  • ハウスドルフ空間の任意の積はハウスドルフである。
  • 正則空間の任意の積は正則である。
  • チコノフ空間の任意の積はチコノフである。
  • 正規空間の積は正規とは限らない。
• コンパクト性
  • コンパクト空間の任意の積はコンパクトである（チコノフの定理）。
  • 局所コンパクト空間の積が局所コンパクトとは限らない。しかしながら、有限個を除くすべてがコンパクトであれば局所コンパクトである。（この条件は必要かつ十分である。）
• 連結性
  • 連結（resp. 弧状連結）空間の任意の積は連結（resp. 弧状連結）である。
  • hereditarily disconnected space の任意の積は hereditarily disconnected である。

選択公理

選択公理は、空でない集合たちの族の積が空でないという主張と同値である。証明は十分簡単である。各集合から元を選んで積において代表元を見つけるだけでよい。逆に、積の代表元は各成分からの元をちょうど1つずつ含む集合である。

選択公理は積空間の研究において再び現れる。例えば、コンパクト集合に関するチコノフの定理は選択公理と同値なより複雑かつ微妙な主張の例である。

関連項目

• 直和 (位相空間論)
• Projective limit topology
• 商位相空間
• 部分位相空間

参考文献

• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co.. ISBN 0486434796. http://store.doverpublications.com/0486434796.html 2013年2月13日閲覧。 

外部リンク

• product topology - PlanetMath.org（英語）