多項式の展開

数学において、多項式の展開（てんかい、expand）とは、複数の多項式の積をひとつの多項式で表すことをいう。これは、因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧が無くなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、冪級数に対するものに自然に拡張される。

概要

分配法則

a(b + c) = ab + ac

を用いることで、多項式の積をひとつの多項式で表すことができる。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。

a(b₁ + … + b_n) = ab₁ + … + ab_n

第一因子も複数の項の和である場合、すなわち

(a₁ + … + a_m)(b₁ + … + b_n)

については、次のように計算される。

第一因子を A とおくと、A(b₁ + … + b_n) となる
分配法則により、これは Ab₁ + … + Ab_n に等しい
この式の第 i 項は (a₁ + … + a_m)b_i であり、再び分配法則を用いると、これは a₁b_i + … + a_mb_i に等しい
よって、全体は (a₁b₁ + … + a_mb₁) + … + (a₁b_n + … + a_mb_n) に等しい

この結果を記号 Σ を用いて書くならば

\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{i}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{j}

である。言葉で表現するならば、

第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である

ということである。第一因子が m 個の項の和、第二因子が n 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは mn 通りであるから、展開した結果は mn 個の項の和になる。

3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、

それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である

ことがしたがう。k 個の多項式の積であって、i 番目の多項式が n_i 個の項の和であれば、展開した結果は n₁ … n_k 個の項の和になる。

具体例

(a + b + c)(x + y) を展開すると、ax + ay + bx + by + cx + cy となる。展開の様子は次の表のように表せる。

{\begin{matrix}\times &a&b&c\\x&ax&bx&cx\\y&ay&by&cy\end{matrix}}

展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば (a + b)(a - b) を展開する場合の表は

{\begin{matrix}\times &a&b\\a&a^{2}&ab\\-b&-ab&-b^{2}\end{matrix}}

であるが、ab と -ab が打ち消しあうため、a² - b² となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。

(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
(a + b)² = a² + 2ab + b²

右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。

冪級数への拡張

多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数

\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots

についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は

\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}

と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。

例

指数関数のテイラー展開

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots

の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、

\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots \right)^{2}=1+2x+2x^{2}+{\frac {4}{3}}x^{3}+\cdots

となるが、この右辺は (e^x)² すなわち e^2x のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、x にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、

(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots )=1

であるが、1 + x + x² + x³ + … は |x| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + x + x² + x³ + … の解析接続は 1/(1 - x) であり、これは x = 1 のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。

概要

具体例

冪級数への拡張

例

関連項目