ランキン・ユゴニオの式

ランキン・ユゴニオの式（ランキン・ユゴニオのしき、英: Rankine–Hugoniot equation）、またはランキン・ユゴニオ関係式とは、垂直衝撃波の通過前後における物理量の関係を表す次の式のことである^[1]：

{\begin{aligned}&{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}={\frac {(\gamma -1)+(\gamma +1)p_{2}/p_{1}}{(\gamma +1)+(\gamma -1)p_{2}/p_{1}}}\\&{\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\frac {a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {(\gamma +1)+(\gamma -1)p_{2}/p_{1}}{(\gamma -1)+(\gamma +1)p_{2}/p_{1}}}\end{aligned}}

ここで

ρ：流体の密度、[kg/m³]

u ：流速、[m/s]

p ：圧力、[ Pa ]

T ：温度、[ K ]

a ：音速、[m/s]

添字の1，2は衝撃波の上流、下流の意味

である。

これらの関係式は、衝撃波の前後の状態だけを、その内部構造に立ち入ることなく関係付けることができる点に特徴がある。

ウィリアム・ランキンが1870年に発表し、ピエール＝アンリ・ユゴニオがそれを知らないまま1887年にランキンと同様の結果を報告した^[2]。

物理的仮定

ランキン・ユゴニオの式を導出するにあたっては、以下の仮定を置いている：

上述の物理的仮定のもとで、流体の状態は以下の連続の式、運動量保存則およびエネルギー保存則によって記述される。

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}\\{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u^{2}+p)\\{\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho u\left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right]\end{aligned}}

ここで

E=e+{\frac {1}{2}}u^{2}

：総エネルギー、[J/kg]

である。さらに定常なので時間微分項は 0 になるなどの仮定を用いてこれらを積分すると、以下の式が得られる：

{\begin{aligned}&Q\equiv \rho u={\rm {constant}}\\&\rho u^{2}+p={\rm {constant}}\\&pu+Q\left({\frac {u^{2}}{2}}+e\right)=\mathrm {constant} \end{aligned}}

さらに、理想気体の仮定から、

{\begin{aligned}&e=c_{v}T\\&a={\sqrt {\gamma p/\rho }}={\sqrt {\gamma RT}}\end{aligned}}

の関係がある。c_v は比熱、R は気体定数である。

以上の式から、ランキン・ユゴニオの式は導かれる。

理想気体の仮定を外すと、ランキン・ユゴニオの式はエンタルピーh を用いて以下のように表される^[2]：

h(p_{2},v_{2})-h(p_{1},v_{1})={\frac {1}{2}}(v_{1}+v_{2})(p_{2}-p_{1})

ここで、v = 1/ρ は比体積である。