オイラーの定理 (微分幾何学)

微分幾何学において、オイラーの定理とは、曲面上の曲線の曲率について、極大・極小を与える主曲率とそれに伴う主方向の存在を規定する定理。1760年にレオンハルト・オイラーにより証明が与えられた。

定理

Mを三次元ユークリッド空間上の曲面、pをM上の点とするとき、pを通りMの法ベクトルを含む平面をpを通る法平面といい、pにおける各単位接ベクトルについて、M上の曲線を切り取る法平面が存在する。この曲線は、P_Xに含まれる曲線とみなしたときにある曲率κをもつが、すべてのκが等しくないと仮定したとき、κの極大値k₁を与える単位接ベクトル X₁及び極小値k₂を与える単位接ベクトルX₂が存在する。オイラーの定理は、X₁とX₂が直交し、さらに、ベクトルXをX₁に対してθの角をなす任意のベクトルとしたとき、

$\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta \,$

が成り立つことを主張するものである。

k₁とk₂は主曲率と呼ばれ、X₁とX₂はそれぞれに随伴する主方向と呼ばれる。

応用

地球楕円体面上の任意の点において、主方向は子午線方向及び卯酉線方向であり、両方向が直交していることは容易に確認できる。地理緯度 $\varphi$ における子午線曲率半径を $M_{\varphi }$ 、卯酉線曲率半径を $N_{\varphi }$ とするとき、極大曲率をもつ主方向（子午線方向）に対し任意方位角 $\alpha \,\!$ をなす垂直截線の曲率半径 $R_{\varphi }^{\alpha }$ は、回転楕円体の幾何学的考察からも導出可能ではあるが、オイラーの定理を用いることにより、