D はA ,B に対するC の調和共役A, D, B, C は調和点列KLMN は完全四角形 射影幾何学 において、調和共役 (harmonic conjugate)とは 実射影直線 における以下の点の関係のことである。
同一直線上にある三点 A, B, C についてL をその直線上にない点、M, N をそれぞれあるC を通る直線とLA, LB の交点とする。またAN とBM の交点をK とする。LK とAB の交点D をC のA ,B に対する調和共役 という[1] {P,Q}調和共役 ({P,Q}-harmonic conjugate)と書かれることが多い[2] D は複比 の不変性やデザルグの定理 により、点L や直線M N の取り方に依らない。
またこのときの複比については (A , B ; C , D ) = −1 が成り立つ。
複比の基準 [ 編集 ] A, D, B, C は調和点列 (Harmonic range)と呼ばれている。AB D の内分比とC の外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。
A
C
¯
:
B
C
¯
=
A
D
¯
:
D
B
¯
.
{\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}
線分比について符号付き距離を導入すると
複比 は以下の式で表される。
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
A
C
¯
A
D
¯
/
B
C
¯
−
D
B
¯
,
{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}
調和点列の複比は常に-1である。
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
A
C
¯
A
D
¯
×
B
D
¯
B
C
¯
=
−
1.
{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}
複比を取る4点の選びは6通りあり、選び方によって複比の値は変わってしまう。しかし、調和店列の場合、{−1, 1/2, 2} のいずれかとなる。これらは調和複比 (harmonic cross-ratio)と呼ばれる。
実数直線状の点a, b について点x の分比(division ratio)は以下の式で表される[3]
t
(
x
)
=
x
−
a
x
−
b
.
{\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}
a < x < b ならば、
t (x )は負の値を取る。逆に
a, b の外であれば正の値を取る。複比は 分比を用いて
(
c
,
d
;
a
,
b
)
=
t
(
c
)
t
(
d
)
{\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}
と書くことができる。
t (c ) + t (d ) = 0ならば、
c と
d は
a ,
b に対する調和共役である。
調和共役の関係にある2つの点との距離が、調和点列の分比である点の軌跡はアポロニウスの円 と呼ばれる。
中点の調和共役 [ 編集 ] 中点と無限遠点 a とb の中点 x に対しての分比は-1である。
t
(
x
)
=
x
−
a
x
−
b
=
−
1.
{\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}
複比の基準によれば、中点
x の調和共役点
y は
t (y ) = 1を満たさなければならない。しかし
無限 の概念を使わねば、
y を定義することができない。
lim
y
→
∞
t
(
y
)
=
1
,
{\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}
中点
x の調和共役点は実数直線上の
無限遠点 として定義される。
調和四角形 [ 編集 ] 調和共役と完全四角形KLMN は深い関係にある。完全四角形の調和共役による表現はH. S. M.コクセター によって提唱された。
A ,B に対するC の調和共役点をD とし、四角形IJKL の2つ対角線はC ,D を、辺はA ,B ,C ,D を通るようなとき、その四角形を完全四角形と言う[4] 最初に調和共役を用いたカール・フォンシュタウト は著作「Geometrie der Lage 」の中で、調和共役を初等幾何の概念から射影幾何の概念へ発展させた[5]
P 1 = A P 2 = S P 3 = B P 4 = Q D = M J. W. Youngによれば、調和三角形によって中点を定義することができる。
2直線 AQ, AS についてそれぞれ平行な直線,BS, BQ を描く。 AQ, SB の交点は無限遠点R 、AS, QB の交点無限遠点P である。調和四角形PQRS の対角線は直線A B と、A B 上の無限遠点M である。平行四辺形 の対角線の交点は対角線を二等分することより、 M の調和共役点はAB [6] 円錐曲線 [ 編集 ] 円錐曲線C とC 上にないP について、P を通る直線とC の交点をそれぞれA ,B とする。直線が動くとき、 P のA ,B に対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時P を極 (pole)、調和共役点の動く直線をP の極線 (polar line)と言う。
反転幾何学 [ 編集 ] 特に円の場合、調和共役は円による反転 と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである[7]
円k , q が垂直に交わっているときk ,q の中心を結ぶ直線とq の2つの交点はk について、反転の関係にある。また、k の中心,k と直線のq 側の交点に対してk ,q の中心を結ぶ直線とq の2つ交点は調和共役の関係にある。 円錐曲線とJoachimthalの等式 [ 編集 ]
C
{\displaystyle C}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
楕円の外にある点
P
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle P(x_{0},y_{0})}
P
{\displaystyle P}
L
{\displaystyle L}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
(
ξ
,
η
)
{\displaystyle (\xi ,\eta )}
L
{\displaystyle L}
Q
(
x
,
y
)
{\displaystyle Q(x,y)}
A
{\displaystyle A}
P
Q
{\displaystyle PQ}
1
{\displaystyle 1}
λ
{\displaystyle \lambda }
P
A
=
(
x
0
−
ξ
)
2
+
(
y
0
−
η
)
2
=
1
,
A
Q
=
(
x
−
ξ
)
2
+
(
y
−
η
)
2
=
λ
{\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }
これらの方程式を𝜉と𝜂について解く代わりに、以下の式が解であることを代入によって調べることができる。
(
ξ
,
η
)
=
(
λ
x
+
x
0
λ
+
1
,
λ
y
+
y
0
λ
+
1
)
.
{\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
1
a
2
(
λ
x
+
x
0
λ
+
1
)
2
+
1
b
2
(
λ
y
+
y
0
λ
+
1
)
2
=
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}
λ
2
(
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
1
)
+
2
λ
(
x
x
0
a
2
+
y
y
0
b
2
−
1
)
+
(
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
−
1
)
=
0.
{\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}
この等式は
λ
{\displaystyle \lambda }
Joachimthal's equation と呼ばれる。Joachimthal's equationの2つの根
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Q
A
=
1
λ
1
+
1
(
x
−
x
0
,
y
−
y
0
)
,
P
A
=
λ
1
λ
1
+
1
(
x
0
−
x
,
y
0
−
y
)
{\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}
Q
B
=
1
λ
2
+
1
(
x
−
x
0
,
y
−
y
0
)
,
P
B
=
λ
2
λ
2
+
1
(
x
0
−
x
,
y
0
−
y
)
.
{\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}
P
B
P
A
Q
A
Q
B
=
λ
2
λ
1
.
{\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}
上の等式の両辺が
−
1
{\displaystyle -1}
Q
A
P
A
=
−
Q
B
P
B
.
{\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}
このとき
P
Q
{\displaystyle PQ}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
x
x
0
a
2
+
y
y
0
b
2
−
1
=
0.
{\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}
この等式は
P
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle P(x_{0},y_{0})}
^ R. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) Axiomatic Projective Geometry , University College Leicester (publisher). This text follows synthetic geometry . Harmonic construction on page 11
^ “GLOSSARY, a support page for ENCYCLOPEDIA TRIANGLE CENTERS ”. faculty.evansville.edu . 2024年3月23日 閲覧。 ^ Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry , page 7^ H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry , page 29, University of Toronto Press
^ B.L. Laptev & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry , page 41, Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2
^ John Wesley Young (1930) Projective Geometry , page 85, Mathematical Association of America , Chicago: Open Court Publishing ^ A.S. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry , Mir Publishers , Moscow
