デザルグの定理

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デザルグの定理(デザルグの-ていり、théorème de Desargues)とは、ジラール・デザルグが証明した、空間内の二つの三角形の相互の関係に関するアフィン幾何学ユークリッド幾何学)および射影幾何学の定理である。

パスカルの定理とともに射影幾何学の基本定理の一つとして知られる。

内容[編集]

Desargues theorem.svg

同一平面上にない二つの三角形、△ABCと△abcについて、AaとBbとCcが一点で交わる時、直線ABと直線ab、直線BCと直線bc、直線CAと直線caの交点を、それぞれX、Y、Zとすると、X、Y、Zは、同一直線上にある。

概要[編集]

デザルグの定理および関連する議論をアフィン幾何学(あるいは通常のユークリッド幾何学)の枠組みの中で述べることもできるが、そのような議論を進めるためには、平行線や無限遠に関する事項は例外的な扱いを受けるということに注意しなければならない。デザルグの定理は射影幾何学における定理と考えるのが自然である。

射影幾何学の枠組みでは、直線と点とは互いに対称的な役割を果たすようになり、射影幾何学における定理においていっせいに「点」と「直線」の文言を取り替えた命題(双対命題)も真となるという射影幾何学の双対原理が成立する。デザルグの定理を射影幾何学の命題とかんがえるとき、デザルグの定理の双対はデザルグの定理の「逆」であり、このことを指してデザルグの定理は自己双対的 (self-dual) であるという。

デザルグの定理は、一般に3以上の次元の射影幾何学が、ある D 上の線型空間の1次元部分空間全体が作る通常の射影空間 P(D) という“係数を持つ”幾何学であることを示す。一方、平面射影幾何学では射影幾何学の公理とデザルグの定理は独立な命題であり、デザルグの定理の成立しない非デザルグ幾何 (non-Desarguesian geometry) と呼ばれる射影幾何学を構成することができる。

関連項目[編集]