線型力学系

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線型力学系(せんけいりきがくけい、: linear dynamical system)とは、行列で定義され、線型性を持つ力学系である。

定義[編集]

一般に Rn における線型力学系は、ベクトル値関数 x(t) ∈ Rn と、n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。


\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t)

ただしこれは、x連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、

 \mathbf{x}_{m+1} = A \mathbf{x}_{m}

で表される。

これが線型であるとは、x(t)y(t) が解ならば、任意のスカラー a, b について、線型結合 ax(t) + by(t) も解である、ということを意味している。

線型力学系は、多くの非線型の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 etA(連続系)、もしくは累乗 An(離散系)によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。 非線型のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線型近似は、非線型系を理解するのに役立つ(ハートマン=グロブマンの定理)。

線型力学系の解[編集]

初期値 x(0) = x0 が、行列 A固有ベクトル vk ならば、


\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \mathbf{x}(t) = 
A  \mathbf{v}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{v}_{k}

となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、


\mathbf{x}(t) = 
\mathbf{v}_{k} \mathrm{e}^{\lambda_{k} t}

となる。

もし A対角化可能ならば、任意の初期値 x(0) は、固有ベクトルの線型結合で表される。つまり、次のような 係数 ak が存在する。


\mathbf{x}_{0} = 
\sum_{k=1}^{N} a_{k} \mathbf{v}_{k}

このとき解は、


\mathbf{x}(t) = 
\sum_{k=1}^{n}  a_{k} \mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t}

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列指数関数を用いて

 
\mathbf{x}(t) = e^{t A} \mathbf{x}_0 \quad
\biggl( e^{t A} =\sum_{n=0}\frac{t^n}{n!}A^n \biggr )

と、解を導くことができる。

二次元の場合[編集]

二次元の線型力学系は、


\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}
\begin{pmatrix}
x  \\
y  \\
\end{pmatrix}
= A 
\begin{pmatrix}
x  \\
y  \\
\end{pmatrix}

で表される。この系では、A2正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、

\lambda_1=\frac{\tau+\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}
\lambda_2=\frac{\tau-\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}

のように書くことができる。

また、\Delta=\lambda_1\lambda_2 であり、\tau=\lambda_1+\lambda_2 である。

もし、\Delta<0 ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (saddle point) となる。

\Delta=0 ならば、原点は孤立した平衡点ではない。

\Delta>0 ならば、固有値の符号が同じになり、\tau<0 ならば(漸近)安定、\tau=0 ならば中立安定\tau>0 ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (node) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (degenerate node) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral) となる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]