線形力学系

線形力学系（せんけいりきがくけい、英: linear dynamical system）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。

定義

一般にRⁿ における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t ) ∈ Rⁿ と、n次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。

$\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t)$

ただしこれは、x が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、

$\mathbf{x}_{m+1} = A \mathbf{x}_{m}$

で表される。

これが線形であるとは、x(t) と y(t) が解ならば、任意のスカラー a , b について、線形結合 a x(t) + b y(t) も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数e^tA（連続系）、もしくは累乗Aⁿ（離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。非線形のときでも、変数変換により線形化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理）。

線形力学系の解

初期値 x(0) = x₀ が、行列 Aの固有ベクトル v_k ならば、

$\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{v}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{v}_{k}$

となる。ただし、λ_k　は、v_k に対応する固有値である。このとき、解は、

$\mathbf{x}(t) = \mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t}$

となる。

もし A が対角化可能ならば、任意の初期値　x(0)は、固有ベクトルの線形結合で表される。つまり、次のような 係数a_k が存在する。

$\mathbf{x}_{0} = \sum_{k=1}^{N} a_{k} \mathbf{v}_{k}$

このとき解は、

$\mathbf{x}(t) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t}$

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて

$\mathbf{x}(t) = e^{t A} \mathbf{x}_0 \quad \biggl( e^{t A} =\sum_{n=0}\frac{t^n}{n!}A^n \biggr )$

と、解を導くことができる。

二次元の場合

二次元の線形力学系は、

$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$

で表される。この系では、A は 2次正方行列である。A の固有値は、行列式$\Delta$と、トレース$\tau$　を用いて、

$\lambda_1=\frac{\tau+\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}$

$\lambda_2=\frac{\tau-\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}$

のように書くことができる。

また、$\Delta=\lambda_1\lambda_2$であり、$\tau=\lambda_1+\lambda_2$である。

もし、$\Delta<0$ならば、固有値の符号が異なり原点は、サドル(鞍点、鞍状点)となる。

$\Delta=0$ならば、原点は孤立した平衡点ではない。

$\Delta>0$ならば、固有値の符号が同じになり、$\tau<0$ならば(漸近)安定、$\tau=0$ならばセンター（中立安定）、$\tau>0$ならば不安定になる。また固有値が実数ならばノード(節点、結節点)となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なときデジェネレイトノード(退化節点、退化結節点)となる。最後に複素数のときは、スパイラル(渦状点)となる。

参考文献

• Morris W. Hirsch and Stephen Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press(1974); S.スメール、M.W, ハーシュ (著), 田村一郎, 水谷忠良, 新井紀久子 (翻訳) 『力学系入門』岩波書店（1976年）ISBN 978-4000061308

関連項目

• 自励系
• ハートマン＝グロブマンの定理