線形力学系

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線形力学系(せんけいりきがくけい、: linear dynamical system)とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。

定義[編集]

一般にRn における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t ) ∈ Rn と、n次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。


\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t)

ただしこれは、x連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、

 \mathbf{x}_{m+1} = A \mathbf{x}_{m}

で表される。

これが線形であるとは、x(t)y(t) が解ならば、任意のスカラー a , b について、線形結合 a x(t) + b y(t) も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数etA(連続系)、もしくは累乗An(離散系)によって表現され、その振る舞いは一般的に行列A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。非線形のときでも、変数変換により線形化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ(ハートマン=グロブマンの定理)。

線形力学系の解[編集]

初期値 x(0) = x0 が、行列 A固有ベクトル vk ならば、


\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = 
A  \mathbf{v}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{v}_{k}

となる。ただし、λk は、vk に対応する固有値である。このとき、解は、


\mathbf{x}(t) = 
\mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t}

となる。

もし A対角化可能ならば、任意の初期値 x(0)は、固有ベクトルの線形結合で表される。つまり、次のような 係数ak が存在する。


\mathbf{x}_{0} = 
\sum_{k=1}^{N} a_{k} \mathbf{v}_{k}

このとき解は、


\mathbf{x}(t) = 
\sum_{k=1}^{n}  a_{k} \mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t}

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列指数関数を用いて

 
\mathbf{x}(t) = e^{t A} \mathbf{x}_0 \quad
\biggl( e^{t A} =\sum_{n=0}\frac{t^n}{n!}A^n \biggr )

と、解を導くことができる。

二次元の場合[編集]

二次元の線形力学系は、


\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
x  \\
y  \\
\end{pmatrix}
= A 
\begin{pmatrix}
x  \\
y  \\
\end{pmatrix}

で表される。この系では、A は 2次正方行列である。A の固有値は、行列式\Deltaと、トレース\tau を用いて、

\lambda_1=\frac{\tau+\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}
\lambda_2=\frac{\tau-\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}

のように書くことができる。

また、\Delta=\lambda_1\lambda_2であり、\tau=\lambda_1+\lambda_2である。

もし、\Delta<0ならば、固有値の符号が異なり原点は、サドル(鞍点、鞍状点)となる。

\Delta=0ならば、原点は孤立した平衡点ではない。

\Delta>0ならば、固有値の符号が同じになり、\tau<0ならば(漸近)安定、\tau=0ならばセンター中立安定)、\tau>0ならば不安定になる。また固有値が実数ならばノード(節点、結節点)となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なときデジェネレイトノード(退化節点、退化結節点)となる。最後に複素数のときは、スパイラル(渦状点)となる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]