移流拡散方程式

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移流拡散方程式とは、移流方程式拡散方程式が組み合わされた、それらよりも一般的な流れを表す2階線型偏微分方程式である。物理量φ(t , x )が、速度c で流れ、かつ拡散係数D拡散する場合の移流拡散方程式は次の式で表される:

\frac{\partial\phi}{\partial t} + \nabla\cdot(\boldsymbol{c}\phi) = \nabla\cdot(D\nabla\phi)

解析解[編集]

1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式

\frac{\partial\phi}{\partial t} + c\frac{\partial\phi}{\partial x} = D\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}

については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる[1]。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する:

\phi(t,0) = U_0(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \\ 1 & (t \ge 0)\end{cases}
\lim_{x\rightarrow\infty}\phi(t,x) < \infty\quad (t\ge 0)

また、初期条件としては次を仮定する:

\phi(0,x)=0\quad (x\ge 0)

(実質的にt > 0, x > 0 の解にのみ興味がある。)

このとき、解は

\phi(t,x) = \frac{1}{2}\exp\left(\frac{c}{2D}x\right)
\left[\exp\left(-\frac{c}{2D}x\right)\operatorname{erfc}\left(\frac{1}{2\sqrt{Dt}}(x-ct)\right)
     +\exp\left( \frac{c}{2D}x\right)\operatorname{erfc}\left(\frac{1}{2\sqrt{Dt}}(x+ct)\right)\right]

となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。

定常解[編集]

上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる[2]。このとき移流拡散方程式は

c\frac{d\phi}{dx} = D\frac{d^2\phi}{dx^2}

である。x の範囲は区間 [0, L ] 内とし、境界条件として

\phi(0)=\phi_0,\quad \phi(L)=\phi_L

とする。この時の解析解は

\phi(x) = \phi_0 + \frac{\exp(Pe\cdot x/L)-1}{\exp(Pe)-1}(\phi_L-\phi_0)

ただし

Pe:=\frac{c L}{D}

と表される。ここでPeペクレ数Péclet number)といい、移流と拡散の比を表す無次元数である。

この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。

参考文献[編集]

  1. ^ 齋藤大作・星清、1997、移流拡散方程式の解析解(1)、開発土木研究所月報第533号、寒地土木研究所、http://kankyou.ceri.go.jp/houkoku/1997/11.pdf
  2. ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić; 小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠訳 『コンピュータによる流体力学』 シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、61-62頁。ISBN 4-431-70842-1 

関連項目[編集]