バーガース方程式

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物理学、特に流体力学においてバーガース方程式(-ほうていしき、: Burgers equation)とは、一次元の非線形波動を記述する二階偏微分方程式。方程式の名は、オランダの物理学者J. バーガース英語版に因む。一次元のナビエ-ストークス方程式において、圧力を無視できる場合に相当する。非線形な偏微分方程式であるが、コール・ホップ変換と呼ばれる変換にて、線形な拡散方程式に帰着させることができる。

方程式[編集]

時間変数t と空間変数x の関数u (x, t )についての非線形偏微分方程式

 
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} =\nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

バーガース方程式という。ここで、定数ν>0は動的粘性率である。uuxの項は移流項、uxxは散逸項と呼ばれる。ν=0で散逸項がない場合、波の突っ立ちにより、解は多価関数となり、波の崩壊が生じるが、ν>0の場合には、散逸項により、崩壊が抑えられるため、波が伝播する。

バーガース方程式は非線形項uuxを持つ非線形偏微分方程式であるが、コール・ホップ変換(Cole-Hopf transformation)と呼ばれる変数変換


\begin{align}
u &=- \nu  \frac{\partial }{\partial x}\log{\psi}  \\
  &=- \nu \frac{\psi_x}{\psi} 
\end{align}

によって、線形な拡散方程式


\frac{\partial \psi}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}

に帰着させることができる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]