接吻数問題

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n 次元)接吻数問題(せっぷんすうもんだい、kissing number problem)とは「n 次元の単位の周りに単位球を重ならず触れ合うように並べるとき、最大何個並べることができるか」という問題である。その個数のことを接吻数という。

0次元1次元2次元3次元4次元、8次元、24次元の接吻数が分かっており、それぞれ 0、2、6、12、24、240、196560 である。

1, 2, 3次元における図式は以下の通り

Kissing-1d.svg Kissing-2d.svg Kissing-3d.png

3次元接吻数問題[編集]

3次元接吻数問題は、1694年のアイザック・ニュートンデイヴィッド・グレゴリー (en) の議論に端を発するが、完全に解決されたのは1953年のクルト・シュッテとファン・デル・ヴェルデン (en) の論文による[1]

接吻数の表[編集]

この表は、2009年の段階で判明した、様々な次元における接吻数がとりうる範囲表である[2]。太字で書かれた次元は、接吻数が確定した次元である。

次元 下限 上限
1 2
2 6
3 12
4 24
5 40 44
6 72 78
7 126 134
8 240
9 306 364
10 500 554
11 582 870
12 840 1357
13 1154 2069
14 1606 3183
15 2564 4866
16 4320 7355
17 5346 11072
18 7398 16572
19 10688 24812
20 17400 36764
21 27720 54584
22 49896 82340
23 93150 124416
24 196560

注釈[編集]

  1. ^ Schütte, K. and van der Waerden, B. L., "Das Problem der dreizehn Kugeln", Math. Ann. 125, (1953). 325--334. doi:10.1007/BF01343127
  2. ^ Mittelmann, Hans D.; Vallentin, Frank (2009年). “High accuracy semidefinite programming bounds for kissing numbers”. arXiv:0902.1105 [math.OC]. 

参考文献[編集]