分岐被覆

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代数多様体分岐被覆(branched covering)とは,代数多様体 V から代数多様体 W への(morphism) f であって,2つの次元英語版が同じで,f のファイバーの次元がゼロであり,全射であるものを言う.

このとき,(ザリスキー位相英語版について) W の開集合 W′ があり,f の W′ への制限(つまりV′ = f−1(W′) から W′ への f からきまる射)は不分岐である.ここで射が不分岐とは、複素数体上の多様体について強位相英語版で考えると局所準同型英語版のことであり,一般には(より強く平坦性分離性英語版(separability)を仮定すると),エタール射(étale morphism)である.一般的に,位相空間の被覆空間の類似といえる.例えば, V と W がリーマン面であって f は定数ではない正則写像であるとき,この f は分岐被覆となる.またこのとき W の点からなる有限集合 P が存在し,P の外では次の被覆空間を得る.

V′ → W′.

W の例外的な点の集合(すなわち、上の W′ として最大の開集合をとったときの補集合)は、分岐軌跡(ramification locus)といわれる.分岐を参照のこと.一般にモノドロミー英語版は W′ の基本群が被覆のシートの上に作用することによって発生する.(一般の基礎体の場合にもこの位相的な概念を正確に定めることができる.)

分岐被覆はクンマー拡大(Kummer extension),つまり函数体代数拡大英語版として容易に構成できる.超楕円曲線は典型的な例である.

不分岐被覆(unramified covering)とは,分岐軌跡が空集合となる分岐被覆である.

参考文献[編集]