ラグランジュ補間

ラグランジュ補間（ラグランジュほかん）とは補間法のひとつ。

互いに異なる $(n+1)$ 個の点 $x_0,x_1, \ldots ,x_n \ (x_0<x_1< \ldots <x_n)$ に対して、関数値 $f(x_0),f(x_1), \ldots ,f(x_n)$ が与えられているとする。

ここで $p_n(x_i)=f(x_i) \ (i=0,1, \ldots ,n)$ を満たす $x$ の $n$ 次多項式 $p_n(x)$ を以下の式で求め、これを用いて $f(x)$ の補間を行なうことをラグランジュ補間という。

$p_n(x)$ は、下記のようになる。

$p_n(x)=\sum_{j=0}^n f(x_j)l_j(x),$

$l_j(x)={\frac{(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\ldots(x-x_n)} {(x_j-x_0)(x_j-x_1)\ldots(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\ldots(x_j-x_n)}}$

なお、補間であるので一般に $f(x)=p_n(x)$ というわけではない。 $x=x_0,x_1,\ldots,x_n$ のときのみ $f(x)=p_n(x)$ は保証されるが、それ以外の $x$ では $f(x)=p_n(x)$ が成立するか否かはわからない。

この補間法の短所 [編集]

$p_n(x)$ と $p_{n-1}(x)$ の関係式がないので、既知の $x,f(x)$ が増えたとき（ $n$ が増えたとき）、ほとんど最初から補間多項式の計算をやり直す必要がある。

それに対して、ニュートン補間では $p_n(x)$ と $p_{n-1}(x)$ の関係式があり、補間多項式の計算を少し追加するだけでいい。

またラグランジュ補間では、与えられた点の数が非常に多い場合に大きな誤差を伴うことがある（ルンゲの現象と呼ばれる）。