ラグランジュ補間

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ラグランジュ補間(ラグランジュほかん)とは補間法のひとつ。

互いに異なる(n+1)個の点x_0,x_1, \ldots ,x_n \ (x_0<x_1< \ldots <x_n)に対して、関数値f(x_0),f(x_1), \ldots ,f(x_n)が与えられているとする。

ここでp_n(x_i)=f(x_i) \ (i=0,1, \ldots ,n)を満たすxn次多項式p_n(x)を以下の式で求め、これを用いてf(x)の補間を行なうことをラグランジュ補間という。

p_n(x)は、下記のようになる。

p_n(x)=\sum_{j=0}^n f(x_j)l_j(x),

l_j(x)={\frac{(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\ldots(x-x_n)} {(x_j-x_0)(x_j-x_1)\ldots(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\ldots(x_j-x_n)}}

なお、補間であるので一般にf(x)=p_n(x)というわけではない。x=x_0,x_1,\ldots,x_nのときのみf(x)=p_n(x)は保証されるが、それ以外のxではf(x)=p_n(x)が成立するか否かはわからない。

この補間法の短所[編集]

p_n(x)p_{n-1}(x)の関係式がないので、既知のx,f(x)が増えたとき(nが増えたとき)、ほとんど最初から補間多項式の計算をやり直す必要がある。

それに対して、ニュートン補間ではp_n(x)p_{n-1}(x)の関係式があり、補間多項式の計算を少し追加するだけでいい。


参考文献[編集]