ニュートン補間

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ニュートン補間とは、補間法の一つ。

互いに異なる(n+1)個の点x_0,x_1, \ldots ,x_n \ (x_0<x_1< \ldots <x_n)に対して、関数値f(x_0),f(x_1), \ldots ,f(x_n)が与えられているとする。

ここでp(x_i)=f(x_i) \ (i=0,1, \ldots ,n)を満たすxn次多項式p(x)を以下の式で求め、これを用いてf(x)の補間を行なうことをニュートン補間という。

p(x)は、下記のようになる。

p_n(x)=p_{n-1}(x)+\prod_{i=0}^{n-1}{(x-x_i)f[x_0,x_1,\ldots,x_n]}

但し、

f[x_0]=f(x_0),f[x_0,x_1]={{f[x_1]-f[x_0]} \over {x_1-x_0}},
f[x_0,x_1,\ldots,x_n]={{f[x_1,x_2,\ldots,x_n]-f[x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}]} \over {x_n-x_0}}

であり、

f[x_0,x_1,\ldots,x_n]n階差分商という。

この補間法の長所[編集]

この補間法の長所は、既知のx,f(x)が増えたときに(nが増えたとき)、簡単に補間多項式を求めることができることにある。これはp_n(x)p_{n-1}(x)を含む式で表されているためである。

それに対して、ラグランジュ補間では、p_n(x)p_{n-1}(x)を含む式で表されていないので、既知のx,f(x)が増えたときには、ほとんど最初から補間多項式の計算をやり直す必要がある。