「正規作用素」の版間の差分

削除された内容追加された内容

インライン

2014年2月16日 (日) 20:09時点における版

数学の特に函数解析学における正規作用素（せいきさようそ、英: normal operator）は、複素ヒルベルト空間 H 上の連続線型作用素 $N : H \to H$ でエルミート随伴 $N *$ を持ち、 $NN * = N * N$ を満たすものを言う^[1]。

正規作用素が重要であるのは、それに対するスペクトル定理が成り立つからである。今日では正規作用素のクラスはよく分かっている。正規作用の例としては

ユニタリ作用素: $N * = N -1$
エルミート作用素（自己随伴作用素）: $N * = N$ ;（あるいは反自己随伴作用素: $N * = - N$ ）
正作用素（英語版）: Template:Mathの呼び出しエラー：数式が入力されていません。 ( $\exists M : H \to H$ は有界)
正規行列は考えるヒルベルト空間が $C n$ のときの正規作用素と考えられる。

性質

正規作用素はそのスペクトル定理によって特徴づけられる。コンパクト正規作用素（特に有限次元線型空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である^[2]。

有界作用素 $T$ に対して以下の条件

$T$ は正規。
$T *$ は正規。
任意の $x$ に対して $ǁ Tx ǁ = ǁ T * x ǁ$ が成り立つ。
$T$ の自己随伴成分 $T 1$ と反自己随伴成分 $iT 2$ とが可換^[3]。

は何れも同値である。三つ目は等式を自乗して $ǁ Tx ǁ 2 = ⟨ T * Tx, x ⟩ = ⟨ TT * x, x ⟩ = ǁ T * x ǁ 2$ の形に見れば、四つ目は各成分が T₁ = (T^∗ + T)/2, T₂ = (T^∗ − T)i/2 で与えられるから、それぞれ正規性との同値性はあきらかである。

$N$ が正規作用素ならば、 $N$ と $N *$ はその像と核が等しい。ゆえに、 $N$ の像が稠密となる必要十分条件は $N$ が単射となることである。別なやり方をすれば、正規作用素の核はその像の直交補空間である。従って、任意の正整数 $k$ に対して作用素 $N k$ の核は $N$ 自身の核と等しく、正規作用素の任意の広義固有値は通常の固有値である。 $λ$ が正規作用素 $N$ の固有値であるための必要十分条件は、その複素共軛 $λ$ が $N *$ の固有値となることである。正規作用素の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交し、正規作用素はその固有空間の直交補空間を不変にする^[4]。このことから通常のスペクトル定理「有限次元空間上の任意の正規作用素はユニタリ作用素によって対角化可能である」が出る。これは無限次元の場合にも、射影値測度（英語版）を用いて一般化できる。正規作用素の剰余スペクトルは空である^[4]。

互いに可換な正規作用素の積はやはり正規となるが、これは自明ではなくフーグリードの定理（英語版）から従う。フーグリードの定理（のパットナムが拡張した形）は

定理 (Fuglede–Putnam): 二つの正規作用素 $N 1, N 2$ に対し、有界作用素 A で $N 1 A = AN 2$ を満たすものが存在すれば $N 1 * A = AN 2 *$ が成立する。

正規作用素の作用素ノルムは、その数域半径（英語版）およびスペクトル半径に等しい。

正規作用素はそのアルスゲ変換（英語版）と一致する。

有限次元の場合の性質

「正規行列」も参照

有限次元の実または複素ヒルベルト空間（内積空間）H 上の正規作用素 $T$ が部分空間 V を保つならば、T はその直交補空間 $V ⊥$ も保つ（この主張は $T$ が自己随伴ならば自明である）。

[証明]. $P V$ を V の上への直交射影とすれば $V ⊥$ の上への直交射影は $1 H - P V$ である。 $T$ が $V$ を保つことは $(1 H - P V) TP V = 0$ または $TP V = P V TP V$ で表されるという事実を用いれば、目的は Template:Mathの呼び出しエラー：数式が入力されていません。 を示すことに言い換えられる。 $(A, B) \mapsto tr(AB *)$ が $H$ の自己準同型全体の成すベクトル空間上の内積となることから、 $tr(XX *) = 0$ を示せば十分である。そこでまずは XX^∗ を直交射影で書きなおせば

XX^{*}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}

となるから、ここでトレースと直交射影の性質に従って計算すれば

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))=0\end{aligned}}

を得る。

同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、ヒルベルト・シュミット内積（英語版）を用いて通用する^[5]。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る^[6]。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えば両側シフト作用素（英語版）を考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間はバーリングの定理（英語版）によって特徴づけられる。

対合環の正規元

正規作用素の概念は対合線型環への一般化される。つまり、対合線型環の元 x が正規であるとは、 $xx * = x * x$ を満たすときに言う。最も重要な場合は、対合線型環が C^∗-線型環であるときである。正元（英語版）は正規元の例である。

非有界正規作用素

有界作用素の定義は、ある種の非有界作用素のクラスに対しては自然に一般化される。具体的には、閉作用素 N が正規であることを

N^{*}N=NN^{*}

で定める。ここで随伴 N^∗ の存在性は N の定義域が稠密であることを、等号は N^∗ N の定義域が NN^∗ の定義域と等しいことをそれぞれ含意するが、この場合一般には必要でない。

非有界正規作用素に対してもスペクトル定理はやはり成り立つが、ふつうは別に証明が必要である。

一般化

正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスには

などがある（上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある）。

注釈

^ Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 312
^ Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 317
^ これに対して、場の量子論などで重要なクラスである生成演算子と消滅演算子は非可換である。
^ ^a ^b Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3
^ Andô, Tsuyoshi (1963). “Note on invariant subspaces of a compact normal operator”. Archiv der Mathematik 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964.
^ Garrett, Paul (2005年). “Operators on Hilbert spaces”. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。

参考文献

Hoffman, Kenneth and Kunze, Ray. Linear Algebra. Second Edition. 1971. Prentice-Hall, Inc.

[1] Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 312

[2] Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 317

[3] これに対して、場の量子論などで重要なクラスである生成演算子と消滅演算子は非可換である。

[Naylor-4] Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3

[5] Andô, Tsuyoshi (1963). “Note on invariant subspaces of a compact normal operator”. Archiv der Mathematik 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964.

[Garrett-6] Garrett, Paul (2005年). “Operators on Hilbert spaces”. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ 1行目: / 1行目: @@
+{{Refimprove|date=June 2011}}
-'''正規作用素'''（せいきさようそ、<em lang="en">normal operator</em>）は、その随伴作用素と可換であるような、[[線型写像|線型作用素]]である。
+[[数学]]の特に[[函数解析学]]における'''正規作用素'''（せいきさようそ、{{lang-en-short|''normal operator''}}）は、複素[[ヒルベルト空間]] ''H'' 上の[[連続線型作用素]] {{math|''N'': ''H'' → ''H''}} で[[エルミート随伴]] {{math|''N''<sup>∗</sup>}} を持ち、{{math|''NN''<sup>∗</sup> {{=}} ''N''<sup>∗</sup>&thinsp;''N''}} を満たすものを言う<ref>{{cite book|author=Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray|year=1971|title=Linear Algebra|edition=Second|pages=312}}</ref>。
+正規作用素が重要であるのは、それに対する[[スペクトル定理]]が成り立つからである。今日では正規作用素のクラスはよく分かっている。正規作用の例としては
-== 例 ==
+* [[ユニタリ作用素]]: {{math|''N''<sup>∗</sup> {{=}} ''N<sup>−1</sup>}}
-<div style="float:right; margin:1ex 1em 1ex 1em; padding:auto;">
+* [[エルミート作用素]]（自己随伴作用素）: {{math|''N''<sup>∗</sup> {{=}} ''N''}};（あるいは反自己随伴作用素: {{math|''N''<sup>∗</sup> {{=}} −''N''}}）
-{| class="wikitable" style="margin:1ex 0 1ex 0;"
+* {{仮リンク|正作用素|en|Positive operator}}: {{math|''N'' = ''MM''<sup>∗</sup>}} ({{math|&exist;''M'': ''H'' &rarr; ''H''}} は[[有界作用素|有界]])
-|+ 複素数との類似性
+* [[正規行列]]は考えるヒルベルト空間が {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} のときの正規作用素と考えられる。
-|
-! 正規行列 !! 複素数
-|-
-! 自己共軛
-| エルミート: ''M''<sup>*</sup> = ''M'' || 実数: ''z''<sup>*</sup> = ''z''
-|-
-! 半正値
-| 半正定値エルミート: ''P'' &ge; 0 || 非負実数: ''x'' &ge; 0
-|-
-! 正値
-| 正定値エルミート: ''P'' &gt; 0 || 正数: ''x'' &gt; 0
-|-
-! 絶対値
-| &brvbar;''M''&brvbar; &ge; 0; &brvbar;''M''&brvbar;<sup>2</sup> = ''MM''<sup>*</sup>
-| &brvbar;''z''&brvbar; &ge; 0; &brvbar;''z''&brvbar;<sup>2</sup> = ''zz''<sup>*</sup>
-|-
-! ユニタリ
-| &brvbar;''U''&brvbar;<sup>2</sup> = ''UU''<sup>*</sup> = 1<sub>''n''
-| &brvbar;''z''&brvbar;<sup>2</sup> = ''zz''<sup>*</sup> = 1
-|-
-! 実ユニタリ
-| 直交行列 || &plusmn;1
-|-
-! 極分解
-| ''A'' = ''U''&brvbar;''A''&brvbar;; &brvbar;''U''&brvbar; = 1<sub>''n''</sub>
-| ''z'' = &brvbar;''z''&brvbar;''e''<sup>''i''&theta;</sup>; &brvbar;''e''<sup>''i''&theta;</sup>&brvbar; = 1
-|} </div>
-有限次元ヒルベルト空間上の正規作用素は正規行列として表される。'''正規行列'''（せいきぎょうれつ、<em lang="en">normal matrix</em>）とは、複素正方行列 ''M'' であって、その[[随伴行列]] ''M''<sup>*</sup> に対し、''MM''<sup>*</sup> = ''M''<sup>*</sup>''M'' を満たすもののことである。
-* 任意の正規行列に対し、それを対角化する[[ユニタリ行列]]が存在する。逆にユニタリ行列で対角化される複素行列は正規行列である。
-* [[エルミート行列]]は正規行列である。
-* [[ユニタリ行列]]は正規行列である。
-== 関連項目 ==
+== 性質 ==
+正規作用素はその[[スペクトル定理]]によって特徴づけられる。[[ヒルベルト空間上のコンパクト作用素|コンパクト正規作用素]]（特に有限次元線型空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である<ref>{{cite book|author=Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray|year=1971|title=Linear Algebra|edition=Second|pages=317}}</ref>。
-* [[ユニタリ作用素]]
-* [[エルミート作用素]]
-* [[行列の相似]] - ''ユニタリ同値''
+有界作用素 {{math|''T''}} に対して以下の条件
-{{DEFAULTSORT:せいききようれつ}}
+* {{math|''T''}} は正規。
-[[Category:線型代数学]]
+* {{math|''T''<sup>∗</sup>}} は正規。
-[[Category:関数解析学]]
+* 任意の {{math|''x''}} に対して {{math|ǁ''Tx''ǁ {{=}} ǁ''T''<sup>∗</sup>''x''ǁ}} が成り立つ。
-[[Category:数学に関する記事]]
+* {{math|''T''}} の自己随伴成分 {{math|''T''<sub>1</sub>}} と反自己随伴成分 {{math|''iT''<sub>2</sub>}} とが可換<ref>これに対して、[[場の量子論]]などで重要なクラスである[[生成消滅演算子|生成演算子と消滅演算子]]は非可換である。</ref>。
+は何れも同値である。三つ目は等式を自乗して {{math|ǁ''Tx''ǁ<sup>2</sup> {{=}} &lang;''T''<sup>∗</sup>&thinsp;''Tx'', ''x''&rang; {{=}} &lang;''TT''<sup>∗</sup>''x'', ''x''&rang; {{=}} ǁ''T''<sup>∗</sup>''x''ǁ<sup>2</sup>}} の形に見れば、四つ目は各成分が ''T''<sub>1</sub> = (''T''<sup>∗</sup> + ''T'')/2, ''T''<sub>2</sub> = (''T''<sup>∗</sup> &minus; ''T'')''i''/2 で与えられるから、それぞれ正規性との同値性はあきらかである。
+{{math|''N''}} が正規作用素ならば、{{math|''N''}} と {{math|''N''<sup>∗</sup>}} はその[[値域|像]]と[[核 (数学)|核]]が等しい。ゆえに、{{math|''N''}} の像が稠密となる必要十分条件は {{math|''N''}} が単射となることである。別なやり方をすれば、正規作用素の核はその像の直交補空間である。従って、任意の正整数 {{math|''k''}} に対して作用素 {{math|''N''<sup>''k''</sup>}} の核は {{math|''N''}} 自身の核と等しく、正規作用素の任意の広義固有値は通常の固有値である。{{math|λ}} が正規作用素 {{math|''N''}} の固有値であるための必要十分条件は、その複素共軛 {{math|{{overline|&lambda;}}}} が {{math|''N''<sup>∗</sup>}} の固有値となることである。正規作用素の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交し、正規作用素はその固有空間の直交補空間を不変にする<ref name=Naylor>{{cite book |author=Naylor, Arch W.; Sell George R.|title=Linear Operator Theory in Engineering and Sciences|publisher=Springer|location=New York|year=1982 |pages= |isbn=978-0-387-95001-3|url=http://books.google.com/books?id=t3SXs4-KrE0C&dq=naylor+sell+linear}}</ref>。このことから通常のスペクトル定理「有限次元空間上の任意の正規作用素はユニタリ作用素によって対角化可能である」が出る。これは無限次元の場合にも、{{仮リンク|射影値測度|en|projection-valued measures}}を用いて一般化できる。正規作用素の剰余スペクトルは空である<ref name=Naylor/>。
-[[da:Normal matrix]]
-[[de:Normale Matrix]]
+互いに可換な正規作用素の積はやはり正規となるが、これは自明ではなく{{仮リンク|フーグリードの定理|en|Fuglede's theorem}}から従う。フーグリードの定理（のパットナムが拡張した形）は
-[[eo:Normala matrico]]
+; 定理 (Fuglede&ndash;Putnam)
-[[es:Matriz normal]]
+: 二つの正規作用素 {{math|''N''<sub>1</sub>, ''N''<sub>2</sub>}} に対し、[[有界作用素]] ''A'' で {{math|''N''<sub>1</sub>''A'' {{=}} ''AN''<sub>2</sub>}} を満たすものが存在すれば {{math|''N''<sub>1</sub><sup>∗</sup>''A'' {{=}} ''AN''<sub>2</sub><sup>∗</sup>}} が成立する。
-[[et:Normaalne maatriks]]
-[[fi:Normaali matriisi]]
+正規作用素の作用素ノルムは、その{{仮リンク|数域半径|en|numerical radius}}および[[スペクトル半径]]に等しい。
-[[fr:Matrice normale]]
-[[it:Matrice normale]]
+正規作用素はその{{仮リンク|アルスゲ変換|en|Aluthge transform}}と一致する。
-[[nl:Normale matrix]]
-[[pl:Macierz normalna]]
+== 有限次元の場合の性質 ==
-[[sl:Normalna matrika]]
+{{see also|正規行列}}
-[[sv:Normal matris]]
+'''有限次元'''の実または複素ヒルベルト空間（内積空間）''H'' 上の正規作用素 {{math|''T''}} が部分空間 ''V'' を保つならば、''T'' はその直交補空間 {{math|''V''<sup>⊥</sup>}} も保つ（この主張は {{math|''T''}} が自己随伴ならば自明である）。
-[[th:เมทริกซ์ปรกติ]]
+[証明]. {{math|''P<sub>V</sub>''}} を ''V'' の上への直交射影とすれば {{math|''V''<sup>⊥</sup>}} の上への直交射影は {{math|'''1'''<sub>''H''</sub> − ''P<sub>V</sub>''}} である。{{math|''T''}} が {{math|''V''}} を保つことは {{math|('''1'''<sub>''H''</sub> − ''P<sub>V</sub>'')''TP<sub>V</sub>'' {{=}} 0}} または {{math|''TP<sub>V</sub>'' {{=}} ''P<sub>V</sub>TP<sub>V</sub>''}} で表されるという事実を用いれば、目的は {{math|''X'' :{{=}} ''P<sub>V</sub>T''('''1'''<sub>''H''</sub> − ''P<sub>V</sub>'') = 0}} を示すことに言い換えられる。{{math|(''A'', ''B'') ↦ tr(''AB''<sup>∗</sup>)}} が {{math|''H''}} の自己準同型全体の成すベクトル空間上の[[内積]]となることから、{{math|tr(''XX''<sup>∗</sup>) {{=}} 0}} を示せば十分である。そこでまずは ''XX''<sup>∗</sup> を直交射影で書きなおせば
+: <math>XX^* = P_VT(\boldsymbol{1}_H-P_V)^2T^*P_V= P_VT(\boldsymbol{1}_H-P_V)T^*P_V = P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V</math>
+となるから、ここで[[蹟 (線型代数学)|トレース]]と直交射影の性質に従って計算すれば
+: <math>\begin{align}
+\operatorname{tr}(XX^*) &= \operatorname{tr} \left ( P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V \right ) \\
+&= \operatorname{tr}(P_VTT^*P_V) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*P_V) \\
+&= \operatorname{tr}(P_V^2TT^*) - \operatorname{tr}(P_V^2TP_VT^*) \\
+&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*) \\
+&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(TP_VT^*) \\
+&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VT^*T) \\
+&= \operatorname{tr}(P_V(TT^*-T^*T)) = 0
+\end{align}</math>
+を得る。
+同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、{{仮リンク|ヒルベルト-シュミット作用素|en|Hilbert–Schmidt operator|label=ヒルベルト・シュミット内積}}を用いて通用する<ref>{{cite journal|author=Andô, Tsuyoshi|year=1963|title=Note on invariant subspaces of a compact normal operator|journal=Archiv der Mathematik|volume=14|pages=337–340|doi=10.1007/BF01234964}}</ref>。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る<ref name=Garrett>{{cite web|author=Garrett, Paul|year=2005|title=Operators on Hilbert spaces|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf}}</ref>。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えば{{仮リンク|両側シフト作用素|en|bilateral shift}}を考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間は{{仮リンク|バーリングの定理|en|Beurling's theorem}}によって特徴づけられる。
+== 対合環の正規元 ==
+正規作用素の概念は[[*-代数|対合線型環]]への一般化される。つまり、対合線型環の元 ''x'' が'''正規'''であるとは、 {{math|''xx''<sup>∗</sup> {{=}} ''x''<sup>∗</sup>&thinsp;''x''}} を満たすときに言う。最も重要な場合は、対合線型環が[[C*-環| ''C''<sup>∗</sup>-線型環]]であるときである。{{仮リンク|正作用素|en|positive element|label=正元}}は正規元の例である。
+== 非有界正規作用素 ==
+有界作用素の定義は、ある種の非有界作用素のクラスに対しては自然に一般化される。具体的には、[[閉作用素]] ''N'' が正規であることを
+: <math>N^*N = NN^*</math>
+で定める。ここで随伴 ''N''<sup>∗</sup> の存在性は ''N'' の定義域が稠密であることを、等号は ''N''<sup>∗</sup>&thinsp;''N'' の定義域が ''NN''<sup>∗</sup> の定義域と等しいことをそれぞれ含意するが、この場合一般には必要でない。
+非有界正規作用素に対してもスペクトル定理はやはり成り立つが、ふつうは別に証明が必要である。
+== 一般化 ==
+正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスには
+* [[準正規作用素]]
+* {{仮リンク|部分正規作用素|en|Subnormal operator}}
+* [[劣正規作用素]]
+* [[パラノーマル作用素|パラ正規作用素]]
+* {{仮リンク|ノーマロイド作用素|en|Normaloid|label=擬正規作用素}}
+などがある（上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある）。
+== 注釈 ==
+<references />
+== 参考文献 ==
+* Hoffman, Kenneth and Kunze, Ray. ''Linear Algebra''. Second Edition. 1971. Prentice-Hall, Inc.
+<!--{{Functional Analysis}}-->
+{{DEFAULTSORT:せいきさようそ}}
+[[Category:作用素論]]
+[[Category:数学に関する記事]]