超楕円曲面

数学では、超楕円曲面(hyperelliptic surface)、あるいは双楕円曲面(bi-elliptic surface)は、楕円曲線上の楕円ファイバー(elliptic fibration)を持つ曲面である。すべてのそのような曲面は、有限アーベル群による 2つの楕円曲線の積の商として記述できる。超楕円曲面は、エンリケス・小平の分類の中の小平次元 0 の曲面のひとつのクラスである。

不変量

小平次元は 0 である。

ホッジダイアモンドは、次の形となる。

          1
      1       1
  0       2      0
      1       1
          1

分類

超楕円曲面は、商 (E×F)/G である。ここに E = C/Λ であり F は楕円曲線で、G は F （ F の作用）の部分群である。次の表に示すように、超楕円曲面には 7つの族がある。

K の位数	Λ	G	E 上の G の作用
2	任意の	Z/2Z	e → −e
2	任意の	Z/2Z ⊕ Z/2Z	e → − e, e → e + c, −c = c
3	Z ⊕ Zω	Z/3Z	e → ωe
3	Z ⊕ Zω	Z/3Z ⊕ Z/3Z	e → ωe, e → e + c, ωc = c
4	Z ⊕ Zi;	Z/4Z	e → ie
4	Z ⊕ Zi	Z/4Z ⊕ Z/2Z	e → ie, e → e + c, ic = c
6	Z ⊕ Zω	Z/6Z	e → −ωe

ここに ω は 1 の 3乗根であり、i は 1 の 4乗根である。

準超楕円曲面

準超楕円曲面(quasi-hyperelliptic surface)は、その標準因子が 0 に数値的に同値であり、楕円曲線へのアルバネーゼ写像とすべてのファイバー(fiber)がカスプ(cusp)を持ち有理的であるような代数曲面である。準超楕円曲面は、標数が 2 や 3 のときにのみあり得る。第二ベッチ数は 2 で、第二チャーン数は 0 であり、正則オイラー標数（英語版）(holomorphic Euler characteristic)は 0 である。準超楕円曲面は、(Bombieri & Mumford 1976) により分類され、彼は標数が 3 のとき6つの場合があることを発見した（この場合は 6K = 0）であり、標数 2 の場合は 8つの場合がある（この場合は、6K あるいは、4K が 0 となる）ことを発見した。準超楕円曲面は、商 (E×F)/G である。ここに E はカスプを持つ有理曲線であり、F は楕円曲線、G は F の（F の作用による）有限部分群スキーム（英語版）(subgroup scheme)である。

参考文献

Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR2030225 - the standard reference book for compact complex surfaces
Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR1406314, ISBN 978-0-521-49842-5
Bombieri, Enrico; Mumford, David (1976), “Enriques' classification of surfaces in char. p. III.”, Inventiones Mathematicae 35: 197–232, doi:10.1007/BF01390138, ISSN 0020-9910, MR0491720
Bombieri, Enrico; Mumford, David (1977), “Enriques' classification of surfaces in char. p. II”, Complex analysis and algebraic geometry, Tokyo: Iwanami Shoten, pp. 23–42, MR0491719