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2006年6月11日 (日) 10:01時点における版
数値解析 におけるニュートン・コーツの公式 (-のこうしき、Newton-Cotes formulas; Newton-Cotes rules)とは、区分求積法に関する公式の総称である。名前は、アイザック・ニュートン とロジャー・コーツ にちなんだものである。
関数 f の値が等間隔の点 x i i = 0, ..., n ) に関して既知であると仮定する（そうでない場合に関しては、別の公式、ガウス求積 が用いられる）。ニュートン・コーツの公式は、2 つ存在する。全ての点を使いうる「閉じた」場合と、端点を用いない「開いた」場合である。n 次の閉じたニュートン・コーツの公式は、次のようになる。
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
0
n
w
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}
ただし、x i h i + x 0 で、h （ステップ長 ）は (x n x 0 )/n に等しい。
w
i
{\displaystyle w_{i}}
重み と呼ばれる。
以下の導出からもわかるように、重みはラグランジュ補間 から導かれる。これは、ニュートン・コーツの公式のとる値が、関数 f 全体ではなく x i L (x ) は与えられたデータ点 (x 0 , f (x 0 ) ),..,(x n , f (x n ) ) に関するラグランジュ補間による補間多項式である。
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∫
a
b
L
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
∑
i
=
0
n
f
(
x
i
)
l
i
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx}
=
∑
i
=
0
n
∫
a
b
f
(
x
i
)
l
i
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
0
n
f
(
x
i
)
∫
a
b
l
i
(
x
)
d
x
⏟
w
i
{\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}\int _{a}^{b}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}}
n 次の開いたニュートン・コーツの公式は、次のようになる。
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
−
1
w
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})}
重みは、閉じた場合のそれと同様である。
ニュートン・コーツの公式は、いかなる次数に関しても構成することができる。低次の公式には、既に有名なものもある。下表は、閉じたニュートン・コーツの公式の一覧である。ここで、f i f (x 0 ) を略記したものとする。
次数 名前 式 誤差項
1
台形公式
h
2
(
f
0
+
f
1
)
{\displaystyle {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}
−
h
3
12
f
(
2
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}
2
シンプソンの公式
h
3
(
f
0
+
4
f
1
+
f
2
)
{\displaystyle {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}
−
h
5
90
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}
3
3/8 公式
3
h
8
(
f
0
+
3
f
1
+
3
f
2
+
f
3
)
{\displaystyle {\frac {3\,h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}
−
3
h
5
80
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {3\,h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}
4
ブールの公式
2
h
45
(
7
f
0
+
32
f
1
+
12
f
2
+
32
f
3
+
7
f
4
)
{\displaystyle {\frac {2\,h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}
−
8
h
7
945
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {8\,h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}
誤差項において、ステップ長 h の次数は、近似による誤差の程度を表している。また、f の導関数は、厳密に積分できる（即ち、誤差が 0 になる）多項式を表している。なお、f の導関数の階数は、他の公式に対して 2 ずつ増加する。ξ は a と b の数である。
下表は、開いたニュートン・コーツの公式の一覧である。
次数 名前 式 誤差項
0
矩形公式
2
h
f
1
{\displaystyle 2hf_{1}}
h
3
24
f
(
2
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}
1
3
h
2
(
f
1
+
f
2
)
{\displaystyle {\frac {3\,h}{2}}(f_{1}+f_{2})}
h
3
4
f
(
2
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )}
2
4
h
3
(
2
f
1
−
f
2
+
2
f
3
)
{\displaystyle {\frac {4\,h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})}
28
h
5
90
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {28\,h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}
3
5
h
24
(
11
f
1
+
f
2
+
f
3
+
11
f
4
)
{\displaystyle {\frac {5\,h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})}
95
h
5
144
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {95\,h^{5}}{144}}\,f^{(4)}(\xi )}
ニュートン・コーツの公式の精密性を意識した場合、ステップ長 h は小さくある必要がある。つまり、積分区間 [a , b ] 自身が小さくある必要があるが、これはどのような場合でも成り立つとは限らない。従って、通常は、[a , b ] を小さな部分区間に分割し、各部分区間にニュートン・コーツの公式を適用し、その結果を足し合わせるという数値積分の方法が取られる。これは、合成積分公式 と呼ばれる。
参考文献 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (See Section 25.4.)
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C (See Section 4.1.)
Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis . New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.) 外部リンク 
