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== 3次元空間の球 == |
== 3次元空間の球 == |
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球と平面が交わるとき、その交わりは平面上の[[円]]となって現れる。これを球と平面の「交円」と呼ぶ。特に、平面が球の中心を通るとき、交わりは最大となり、このときの交円を「大円」と呼び、球の中心から平面に立てた垂線を「大円の軸」と呼ぶ。大円の半径は、球の半径に等しい。それ以外の交円を「小円」と呼ぶ。 |
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以下、''S'' は[[表面積]]、''V'' は[[体積]]、π は[[円周率]]、''r'' は[[半径]]を表す。 |
以下、''S'' は[[表面積]]、''V'' は[[体積]]、π は[[円周率]]、''r'' は[[半径]]を表す。 |
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2013年2月14日 (木) 08:26時点における版
球(きゅう、英: ball)あるいは球体(きゅうたい、英: solid sphere)とは、空間上のある 一定点から一定の距離にあるすべての点の集合である球面 (sphere) とその内部にある点からなる集合。ここで用いた定点を「球の中心」、一定の距離を「球の半径」と呼ぶ。中心を通る直線から、球面が切り取る線分を「球の直径」と呼び、その長さは半径の2倍に等しい。球面のことを「球の表面」と呼ぶことがある。通常は3次元空間にあるものを指す場合が多い。
3次元空間の球
球と平面が交わるとき、その交わりは平面上の円となって現れる。これを球と平面の「交円」と呼ぶ。特に、平面が球の中心を通るとき、交わりは最大となり、このときの交円を「大円」と呼び、球の中心から平面に立てた垂線を「大円の軸」と呼ぶ。大円の半径は、球の半径に等しい。それ以外の交円を「小円」と呼ぶ。
以下、S は表面積、V は体積、π は円周率、r は半径を表す。
表面積
- 証明例1
- 半径 r の球は半円 を x 軸周りに回転することによって得られる。ある x から x + Δx にかけての微小な表面積 ΔS は
- となる。したがって表面積 S は
- 証明例2
- カヴァリエリの原理を用いて、球の表面積は、その球が内接する円柱の側面の面積と等しいというものがある。
- 円柱の中心と鉛直に、極限まで薄く断面のスライスをとったとき、スライスの位置をθ(ラジアン)、幅をdθ(ラジアン)、球および円柱の半径をrとすると、球の表面のスライスの面積はrdθ×2π(rcosθ)となる。円柱側面のスライスはrdθcosθ×2πrとなり、これらは等しい。すなわち内接する円柱の側面積に等しい。よって2r×2πr=4πr2
- 証明例3
- またこの幅rdθのスライスを回転させたものは、円周2π(r・cosθ)であり、面積は
- である。これを積分すると
体積
- 「身 (3) の上 (/) に心 (4) 配 (π) ある (r) 参上(3乗)」と覚える。
- 証明例
- 半球の底面を z = 0 とすると、z 軸と直交する球内の平面の面積 S(z) は半径 の円の面積に等しい。したがって S(z) = π ( r2 - z2) であり、半球の体積は
- 球の体積は半球の体積の2倍なので
その他の性質
- 球の体積を r で微分すると球の表面積が、逆に球の表面積を積分定数を0として r で積分すると球の体積が得られる。
- 3次元球の接吻数、すなわち一つの単位球に一度に接することのできる単位球の最大個数は 12 である。
n次元空間の球
- 表面積
- 体積
0次元球は点、1次元球は長さ 2r の線分、2次元球は半径 r の円になる。
2次元球(円)や3次元球(球)と同様、体積を r で微分すれば表面積が、逆に表面積を積分定数を 0 として r で積分すれば体積が得られる。
n 次元単位球の体積は n = 5 のとき、表面積は n = 7 のときにそれぞれ最大値をとり、それ以降は n の増加にともないどちらも急激に減少して 0 に収束する。