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ホモロジカルミラー対称性は、マキシム・コンツェビッチにより予想された数学的な予想です．物理学者が弦理論を研究することにより、初めて観察されたミラー対称性 (弦理論)と呼ばれる現象の数学的系統的な説明が求められてる．

歴史

1994年のチューリッヒでの国際数学者会議の報告で、コンツェビッチは次のような予想をした．カラビ-ヤウ多様体のペア X と Y のミラー対称性は、代数多様体 X から構成された三角圏（英語版） (X 上の連接層の導来圏)と、もう一つの Y のシンプレクティック多様体から構成される三角圏(深谷圏（英語版）)の同値性として説明されるのではないか．

エドワード・ウィッテンは、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストすることで、位相的弦理論のAモデルとBモデルと呼ばれるモデルを記述した．これらのモデルは、リーマン面から普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像に関係する．数学でのミラー対称性予想の多くは、Y 上のA-モデルと X 上のB-モデルの物理的な同値関係とみなせる．リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表わす．開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を導入する必要がある．A-モデルでは、この境界条件として追加された構造（ブレーン構造と言う）を持った Y 上のラグランラジアン部分多様体（英語版）から導出される．B-モデルは、境界条件として X の上の正則（もしくは代数的）べクトルバンドルを持つ部分多様体から導出される．これらは適当な圏を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある．圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる．

A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単純に弦理論の全体の一部（トポロジカルセクター）と考えられ、また同様に、これらのモデルのブレーン構造は、Dブレーンという力学的対象全体の位相的な近似と考えられる．しかし、弦理論のこの部分から出てくる数学的結果は深く、また難しい問題だ．

例

この予想を数学者が証明している例は、数がさほど多くない．コンツェビッチがセミナーで指摘したように、ホモロジカルミラー対称性予想を、楕円曲線の場合にはテータ函数を使うことで証明できるのであろう．この指摘に従い、アレクサンダー・ポリスチュック（英語版）とエリック・ザスロフ（英語版）は、楕円曲線についてのこの予想の証明をした．深谷賢治は、アーベル多様体についてのこの予想を証明する要素のいくつかを確立した．その後、ヤン・ソイベルマン（英語版）は、SYZ予想からのアイデアを使い、アフィン多様体上の非特異なトーラスバンドル（英語版）についての予想の大半を証明した．2003年に、ポール・ザイデル（英語版）は、四次曲面（英語版）の場合の予想を証明した．Hausel & Thaddeus (2002)は、SYZ予想の素描を、ヒッチン系とラングランズ双対性（英語版）の脈絡で説明した．

ホッジ(Hodge)ダイアモンド

下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、(p,q)-微分形式の空間の次元 h^p,q の座標を (p,q) として並べたもので、ダイアモンドの形となる．p=0,1,2, q=0,1,2 つまり、2-次元の場合には、

                h^2,2
          h^2,1          h^1,2
    h^2,0         h^1,1         h^0,2
          h^1,0          h^0,1
                h^0,0

となる．

K3曲面の場合には、2-次元のカラビ-ヤウ多様体とみなすことができるが、ベッチ数たちが、{1, 0, 22, 0, 1}であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる．

                1
          0          0
     1         22         1
          0          0
                1

ところで、3-次元の場合には、面白いことが起きる．ホッジダイアモンドが対角線（斜め線）を中心線として対称なホッジ数を持つペア M and W が存在することがある．

Mのダイアモンド:

                   1
             0          0
        0          a         0
   1         b          b         1
        0          a         0
             0          0
                   1

Wのダイアモンド:

                   1
             0          0
        0          b         0
   1         a          a         1
        0          b         0
             0          0
                   1

この場合には、M と W は弦理論のA-モデルとB-modelに対応する．なお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上のシンプレクティック構造と複素構造を入れ替える．

以下も参照

参考文献

Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018 .
Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000), Homological Mirror Symmetry and torus fibrations, arXiv:math.SG/0011041 .
Seidel, Paul (2003), Homological mirror symmetry for the quartic surface, arXiv:math.SG/0310414 .
深谷, 賢治 (1999), シンプレクティック幾何学 .
Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002), Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system, arXiv:math.DG/0205236 .

Homological_mirror_symmetry

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-'''ホモロジカルミラー対称性'''は、[[マキシム・コンツェビッチ]]により予想された[[数学]]的な[[予想]]です．物理学者の[[弦理論]]を研究することにより最初に観察された[[ミラー対称性 (弦理論)]]と呼ばれる現象の数学的系統的な説明を求めています．
+'''ホモロジカルミラー対称性'''は、[[マキシム・コンツェビッチ]]により予想された[[数学]]的な[[予想]]です．物理学者が[[弦理論]]を研究することにより、初めて観察された[[ミラー対称性 (弦理論)]]と呼ばれる現象の数学的系統的な説明が求められてる．
-本記事は、{{仮リンク|Homological Mirror Symmetry|en|Homological Mirror Symmetry|label=Homological Mirror Symmetry}} 22:32, 18 April 2012‎ から訳しましたが、さらに追加分を日本語化しました．
 ==歴史==
-[[チューリッヒ]]での1994年の国際数学者会議{{仮リンク|International Congress of Mathematicians|en|International Congress of Mathematicians|label=(International Congress of Mathematicians)}}の報告で、コンツェビッチは[[カラビ-ヤウ多様体]]のペア ''X'' と ''Y'' のミラー対称性が、[[代数多様体]] ''X'' から構成された三角圏{{仮リンク|triangulated category|en|triangulated category|label=(triangulated category)}} (''X'' 上の連接層{{仮リンク|coherent sheaf|en|coherent sheaf|label=(coherent sheaf)}}の導来圏{{仮リンク|derived category|en|derived category|label=(derived category)}}ともう一つの ''Y'' の[[シンプレクティック多様体]]から構成される三角圏(導出された深谷圏{{仮リンク|Fukaya category|en|Fukaya category|label=(Fukaya category)}}の同値性として説明されるのではないかという予想のことを言います.
+年の[[チューリッヒ]]での[[国際数学者会議]]の報告で、コンツェビッチは次のような予想をした．[[カラビ-ヤウ多様体]]のペア ''X'' と ''Y'' のミラー対称性は、[[代数多様体]] ''X'' から構成された{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}} (''X'' 上の{{仮リンク|連接層|en|coherent sheaf|}}の{{仮リンク|導来圏|en|derived category|}})と、もう一つの ''Y'' の[[シンプレクティック多様体]]から構成される三角圏({{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya category}})の同値性として説明されるのではないか．
-[[エドワード・ウィッテン]]は、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストして、位相的弦理論{{仮リンク|topological string theory|en|topological string theory|label=(topological string theory)}}のAモデルとBモデルと呼ばれるものとして記述しました．これらのモデルは、リーマン面から固定された対象空間-普通はカラビ-ヤウ多様体への写像と考えられます．数学でのミラー対称性予想の多くは、''Y'' 上のA-モデル''Y'' と ''X'' 上のB-モデルの物理的な同値関係へ埋め込まれます．リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表します．開いた弦を再現するためには、超対称性を保存する境界条件を導入する必要があります．A-モデルでは、これらの境界条件はある付加された構造（ブレーン構造と言います）を持った ''Y'' ラグランラジアン部分多様体{{仮リンク|Lagrangian submanifold|en|Lagrangian submanifold|label=(Lagrangian submanifold)}}という形式から導出されます．B-モデルでは、境界条件は ''X'' の上の正則（もしくは代数的）べクトルバンドルを持つ部分多様体の形式から導出されます．これらは、適当な[[圏論|圏]]を作るときに使う対象です．これらのことをそれぞれAブレーンやBブレーンということもあります．圏のモルフィズム(morphism)は2つのブレーンの間に張られた開弦の無質量なスペクトルにより与えられます．
+[[エドワード・ウィッテン]]は、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストすることで、{{仮リンク|位相的弦理論|en|topological string theory}}のAモデルとBモデルと呼ばれるモデルを記述した．これらのモデルは、リーマン面から普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像に関係する．数学でのミラー対称性予想の多くは、''Y'' 上のA-モデルと ''X'' 上のB-モデルの物理的な同値関係とみなせる．リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表わす．開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を導入する必要がある．A-モデルでは、この境界条件として追加された構造（ブレーン構造と言う）を持った ''Y'' 上の{{仮リンク|ラグランラジアン部分多様体|en|Lagrangian submanifold}}から導出される．B-モデルは、境界条件として ''X'' の上の正則（もしくは代数的）べクトルバンドルを持つ部分多様体から導出される．これらは適当な[[圏論|圏]]を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある．圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる．
-A-モデルとB-モデルの閉弦は、単にいわゆるトポロジカルセクター - 全弦理論の小さい一部としてとらえられます．同様に、これらのモデルのブレーンは、単にD-ブレーン[[D-brane]]たちの全力学的対象の位相的な近似です．そうだとしても、弦理論のこの小さな部分から出てくる数学的な結果することは深く、また難しい問題です．
+A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単純に弦理論の全体の一部（トポロジカルセクター）と考えられ、また同様に、これらのモデルのブレーン構造は、[[Dブレーン]]という力学的対象全体の位相的な近似と考えられる．しかし、弦理論のこの部分から出てくる数学的結果は深く、また難しい問題だ．
 ==例==
-この予想を数学者が評価することのできる例は、少数ですがあります．コンツェビッチが、セミナーで指摘したように、予想は[[楕円曲線]]の場合には[[テータ函数]]を使い証明できるのではないでしょうか．この導きに従い、アレクサンダー・ポリスチュック{{仮リンク|Alexander Polishchuk|en|Alexander Polishchuk|label=(Alexander Polishchuk)}} と エリック・ザスロフ{{仮リンク|Eric Zaslow|en|Eric Zaslow|label=(Eric Zaslow)}}は楕円曲線についての予想のバージョンの証明をしました．深谷・賢治{{仮リンク|Kenji Fukaya|en|Kenji Fukaya|label=(Kenji Fukaya)}}は、アーベル多様体{{仮リンク|abelian variety|en|abelian variety|label=(abelian variety)}}についての予想の要素たちを確立するを可能としました．その後、とヤン・ソイベルマン{{仮リンク|Yan Soibelman|en|Yan Soibelman|label=(Yan Soibelman)}}は、SYZ予想{{仮リンク|SYZ conjecture|en|SYZ conjecture|label=(SYZ conjecture)}}から来るアイデアを使い、[[代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理|アフィン多様体]]上の非特異なトーラスバンドル{{仮リンク|torus bundle|en|torus bundle|label=(torus bundle)}}についての予想の大半を証明しました．2003年に、ポール・ザイデル{{仮リンク|Paul Seidel|en|Paul Seidel|label=(Paul Seidel)}}は二次曲面{{仮リンク|quartic surface|en|quartic surface|label=(quartic surface)}}の場合の予想を証明しました．{{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}}は、SYZ予想の素描をHitchin系とLanglands双対性の脈絡で説明しました．
+この予想を数学者が証明している例は、数がさほど多くない．コンツェビッチがセミナーで指摘したように、ホモロジカルミラー対称性予想を、[[楕円曲線]]の場合には[[テータ函数]]を使うことで証明できるのであろう．この指摘に従い、{{仮リンク|アレクサンダー・ポリスチュック|en|Alexander Polishchuk}}と{{仮リンク|エリック・ザスロフ|en|Eric Zaslow}}は、楕円曲線についてのこの予想の証明をした．[[深谷賢治]]は、{{仮リンク|アーベル多様体|en|abelian variety}}についてのこの予想を証明する要素のいくつかを確立した．その後、{{仮リンク|ヤン・ソイベルマン|en|Yan Soibelman}}は、{{仮リンク|SYZ予想|en|SYZ conjecture}}からのアイデアを使い、[[代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理|アフィン多様体]]上の非特異な{{仮リンク|トーラスバンドル|en|torus bundle}}についての予想の大半を証明した．2003年に、{{仮リンク|ポール・ザイデル|en|Paul Seidel}}は、{{仮リンク|四次曲面|en|quartic surface}}の場合の予想を証明した．{{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}}は、SYZ予想の素描を、[[ヒッチン系]]と{{仮リンク|ラングランズ双対性|en|Langlands program}}の脈絡で説明した．
 ==ホッジ(Hodge)ダイアモンド==
-下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、''(p,q)''-[[微分形式]]の空間の次元 ''h''<sup>p,q</sup> を座標を ''(p,q)'' として並べたもので、ダイアモンドの形となります．p=0,1,2, q=0,1,2 つまり、2-次元の場合には、
+下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、''(p,q)''-[[微分形式]]の空間の次元 ''h''<sup>p,q</sup> の座標を ''(p,q)'' として並べたもので、ダイアモンドの形となる．p=0,1,2, q=0,1,2 つまり、2-次元の場合には、
                  ''h''<sup>2,2</sup>
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                  ''h''<sup>0,0</sup>
-となります．
+となる．
-K3曲面{{仮リンク|K3 surface|en|K3 surface|label=(K3 surface)}}の場合には、2-次元のカラビ-ヤウ多様体とみなすことができますが、ベッチ数{{仮リンク|Betti number|en|Betti number|label=(Betti number)}}たちが、''{1, 0, 22, 0, 1}''ですから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになります．
+{{仮リンク|K3曲面|en|K3 surface}}の場合には、2-次元のカラビ-ヤウ多様体とみなすことができるが、{{仮リンク|ベッチ数|en|Betti number}}たちが、''{1, 0, 22, 0, 1}''であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる．
                  ''1''
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                  ''1''
-ところで、3-次元の場合には、面白いことが起きます．ホッジダイアモンドが対角線（斜め線）を中心として対称なホッジ数を持つペア ''M'' and ''W'' が存在することがあるのです．
+ところで、3-次元の場合には、面白いことが起きる．ホッジダイアモンドが対角線（斜め線）を中心線として対称なホッジ数を持つペア ''M'' and ''W'' が存在することがある．
 ''M''のダイアモンド:
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                     ''1''
-''M'' と ''W'' は[[弦理論]]のA-モデルとB-modelに対応しています．ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけではなく、ミラーペアの上の[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティック構造]] と 複素構造[[複素多様体|複素構造]]を入れ替えます．これがホモロジカルミラー対称性の起源です．
+この場合には、''M'' と ''W'' は[[弦理論]]のA-モデルとB-modelに対応する．なお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上の[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック構造]]と[[複素多様体|複素構造]]を入れ替える．
 ==以下も参照==