球

球

球（きゅう、ball）あるいは球体（きゅうたい、solid sphere）とは、空間上のある 1 点から等距離にあるすべての点の集合である球面 (sphere) とその内部にある点からなる集合。通常は3次元空間にあるものを指す場合が多い。

3次元空間の球

以下、S は表面積、V は体積、π は円周率、r は半径を表す。

• 表面積

$S=4\pi r^{2}$

（証明例）半径 r の球は半円 $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ を x 軸周りに回転することによって得られる。ある x から x + Δx にかけての微小な表面積 ΔS は

$\Delta S=2\pi y{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=2\pi y{\sqrt {1+({\frac {\Delta y}{\Delta x}})^{2}}}\Delta x$

となる。したがって表面積 S は

$S=2\pi \int _{-r}^{r}y{\sqrt {1+({\frac {dy}{dx}})^{2}}}dx=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}dx=2\pi r\int _{-r}^{r}dx=4\pi r\int _{0}^{r}dx=4\pi r^{2}$

別の算出法としては、カヴァリエリの原理を用いて、球の表面積は、その球が内接する円柱の側面の面積と等しいというものがある。

円柱の中心と鉛直に、極限まで薄く断面のスライスをとったとき、スライスの位置をθ(ラジアン)、幅をdθ(ラジアン)、球および円柱の半径をrとすると、球の表面のスライスの面積はrdθ×2π(rcosθ)となる。円柱側面のスライスはrdθcosθ×2πrとなり、これらは等しい。すなわち内接する円柱の側面積に等しい。よって2r×2πr=4πr²

カヴァリエリの原理による表面積の求め方の説明図

またこの幅rdθのスライスを回転させたものは、円周2π(r・cosθ)であり、面積は

$2\pi r\cos \theta \cdot rd\theta$

積分すると

$S=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}2\pi (r\cos \theta )\cdot rd\theta =2\pi r^{2}\{\sin {\frac {\pi }{2}}-\sin(-{\frac {\pi }{2}})\}=4\pi r^{2}$

• 体積

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

「身 (3) の上 (/) に心 (4) 配 (π) ある (r) 参上（3乗）」と覚える。

（証明例）半球の底面を z = 0 とすると、z 軸と直交する球内の平面の面積 S(z) は半径 ${\sqrt {r^{2}-z^{2}}}$ の円の面積に等しい。したがって S(z) = π ( r² - z²) であり、半球の体積は

${\frac {V}{2}}=\int _{z=0}^{z=r}S(z)dz=\pi \int _{0}^{r}(r^{2}-z^{2})dz=\pi \left[r^{2}z-{\frac {z^{3}}{3}}\right]_{0}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$

球の体積は半球の体積の2倍なので

$V=2\times {\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

球の体積を r で微分すると球の表面積が、逆に球の表面積を積分定数を0として r で積分すると球の体積が得られる。

3次元球の接吻数、すなわち一つの単位球に一度に接することのできる単位球の最大個数は 12 である。

n次元空間の球

• 表面積

$S_{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}r^{n-1}$

• 体積

$V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ((n/2)+1)}}r^{n}$

0次元球は点、1次元球は長さ 2r の線分、2次元球は半径 r の円になる。

2次元球（円）や3次元球（球）と同様、体積を r で微分すれば表面積が、逆に表面積を積分定数を 0 として r で積分すれば体積が得られる。

ただし Γ(z) はオイラーのガンマ関数である。なお、n 次元単位球の体積は n = 5 のとき、表面積は n = 7 のときにそれぞれ最大値をとり、それ以降は n の増加にともないどちらも急激に減少して 0 に収束する。

関連項目

• 円
• 球面
• 球充填
• 扁球
• 回転楕円体
• 回転体
• 超球
• 幾何学
• 恩物：フリードリッヒ・フレーベルが幼児のために考案した玩具。第1恩物として球を採用している。