ラメ定数

ラメ定数(ラメていすう、英: Lamé's constants、ラメ乗数)とは、 線形弾性論の基礎式で用いられる定数。

弾性係数の一つで、応力の変化を与えたとき、弾性体の軸方向、剪断方向への変化のしやすさを表す。

概要

線形弾性論においてフックの法則は、ラメ定数$\lambda$、$\mu$を用いて次のように表される。

$\sigma _{ij}=2\mu \varepsilon _{ij}+\lambda \varepsilon _{kk}\delta _{ij}$

ここで、$\sigma$は応力、$\varepsilon$はひずみを表す。

$\lambda$はラメの第一定数という。 $\lambda$は$\mu$と違い、物理的な意味はない。 $\mu$が必ず正の値でなくてはならないのに対して、$\lambda$は原理的には負の値をとることもできる。 しかし、殆どの物質においては$\lambda$も正の値をとる。

$\mu$はラメの第二定数という。 $\mu$は剛性率ともいい、$G$と表記される。

これら二つの定数を用いて均質等方線形弾性体の他の弾性係数、ヤング率$E$、ポアソン比$\gamma$、体積弾性率$\kappa$を記述することができる。

ラメ定数という名称はフランスの数学者ガブリエル・ラメに因む。

弾性係数の相関関係

二つのラメ定数$\lambda ,\mu$とヤング率$E$、ポアソン比$\gamma$、体積弾性率$\kappa$の五つの弾性係数はそれぞれ、 二つを用いて残りの三つを表すことができる。 その関係を下に示す。

弾性係数の相関関係

	$E$	$\gamma$	$\kappa$	$\mu$	$\lambda$
$E,\gamma$	$E$	$\gamma$	${\dfrac {E}{3(1-2\gamma )}}$	${\dfrac {E}{2(1+\gamma )}}$	${\dfrac {E\gamma }{(1+\gamma )(1-2\gamma )}}$
$E,\kappa$	$E$	${\dfrac {3\kappa -E}{6\kappa }}$	$\kappa$	${\dfrac {3\kappa E}{9\kappa -E}}$	${\dfrac {3\kappa (3\kappa -E)}{9\kappa -E}}$
$E,\mu$	$E$	${\dfrac {E-2\mu }{2\mu }}$	${\dfrac {\mu E}{3(3\mu -E)}}$	$\mu$	${\dfrac {\mu (E-2\mu )}{3\mu -E}}$
$E,\lambda$	$E$	${\dfrac {2\lambda }{E+\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}}$	${\dfrac {E+3\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{6}}$	${\dfrac {E-3\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{4}}$	$\lambda$
$\gamma ,\kappa$	$3\kappa (1-2\gamma )$	$\gamma$	$\kappa$	${\dfrac {3\kappa (1-2\gamma )}{2(1+\gamma )}}$	${\dfrac {3\kappa \gamma }{1+\gamma }}$
$\gamma ,\mu$	$2\mu (1+\gamma )$	$\gamma$	${\dfrac {2\mu (1+\gamma )}{3(1-2\gamma )}}$	$\mu$	${\dfrac {2\mu \gamma }{1-2\gamma }}$
$\gamma ,\lambda$	${\dfrac {\lambda (1+\gamma )(1-2\gamma )}{\gamma }}$	$\gamma$	${\dfrac {\lambda (1+\gamma )}{3\gamma }}$	${\dfrac {\lambda (1-2\gamma )}{2\gamma }}$	$\lambda$
$\kappa ,\mu$	${\dfrac {9\kappa \mu }{6\kappa +\mu }}$	${\dfrac {3\kappa -2\mu }{6\kappa +2\mu }}$	$\kappa$	$\mu$	$\kappa -{\frac {2}{3}}\mu$
$\kappa ,\lambda$	${\dfrac {9\kappa (\kappa -\lambda )}{3\kappa -\mu }}$	${\dfrac {\lambda }{3\kappa -\lambda }}$	$\kappa$	${\frac {3}{2}}(\kappa -\lambda )$	$\lambda$
$\kappa ,\mu$	${\dfrac {\mu (3\lambda -2\mu )}{\lambda +\mu }}$	${\dfrac {\lambda }{2\lambda +2\mu }}$	${\dfrac {3\lambda +2\mu }{3}}$	$\mu$	$\lambda$

参考文献

• 進藤裕英『線形弾性論の基礎』コロナ社、2002年3月。ISBN 4-339-04564-0。 
• Carl Peason (1959). THEORETICAL ELASTICITY. Harvard University Press 

関連項目

• 弾性
• 弾性波
• フックの法則
• ガブリエル・ラメ