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[[幾何学]]において'''弧'''(こ、arc)とは、[[2次元]][[平面]]上における[[微分]]可能な[[曲線]]の閉じた部分片をいう。充てられている[[漢字]]である「弧」のもともとの意味は、“[[弓 (武器)|弓]]状に曲がった形”というものである。 |
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[[幾何学]]における'''弧'''(こ、arc)とは、おおまかには、[[曲線]]のつながった一部分のことであるが、より抽象的な概念に一般化される。初等幾何学においては[[円 (数学)|円周]]の弧を指すことが多く、そのことを明確にしたい場合には'''円弧'''と呼ぶ。 |
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元々、日本語としての「弧」は、木の[[弓 (武器)|弓]]またはその形状を意味する。 |
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== 定義 == |
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位相空間論における'''弧'''とは、閉区間 [''a'', ''b''] から[[位相空間]] ''X'' への[[位相空間#連続写像|連続写像]] γ、もしくはその[[写像|像]]のことである<ref>松坂 p. 202</ref>。[[弧状連結]]の概念を定義する際に現れ、その文脈では'''道'''(みち、path)と呼ばれることも多い。 |
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定義において、閉区間を単位区間 [0, 1] に限る場合もあるが、どちらの定義も同等であることが直ちに従う。''X'' として2次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>3</sup> を取れば、その場合の弧とは、空間曲線の[[連結空間|連結]]な一部分であり、日常的な語の意味に近くなる。さらに、γ として[[全単射]]であることを要請することが多く、その場合の弧は、「自己交叉を持たず、閉でもなく、始点と終点を持つ曲線」である。 |
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== 円弧 == |
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上記の定義の特別な場合として円弧を得るには、全単射連続写像 γ : [0, 1] → '''R'''<sup>2</sup> として |
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を考えればよい。ここに、''r'' (''r'' > 0) は円の半径、α, β (α < β) は始点および終点の偏角であって、中心角は β − α となる。 |
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で与えられる。ただし、角の大きさは[[ラジアン|弧度法]]で与えているものとしている。[[角度#度数法|度数法]]によって、α 度と与えられているならば、θ と α は |
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== 参考文献 == |
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* 松坂和夫『集合・位相入門』[[岩波書店]]、1989年 ISBN 978-4000054249 |
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* [[弦 (数学)]] |
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* [[⌒]] - 弧を表す記号 |
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* [[弧状連結]] |
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* [[子午線弧]] |
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* [[シュトルーヴェの測地弧]] |
* [[シュトルーヴェの測地弧]] |
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* [[電弧]] |
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== 外部リンク == |
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* {{MathWorld|urlname=Arc|title=Arc|author=Margherita Barile and Eric W. Weisstein}} |
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[[Category:位相空間論]] |
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[[Category:初等幾何学]] |
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[[Category:曲線]] |
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2010年9月20日 (月) 02:10時点における版
幾何学における弧(こ、arc)とは、おおまかには、曲線のつながった一部分のことであるが、より抽象的な概念に一般化される。初等幾何学においては円周の弧を指すことが多く、そのことを明確にしたい場合には円弧と呼ぶ。
元々、日本語としての「弧」は、木の弓またはその形状を意味する。
定義
位相空間論における弧とは、閉区間 [a, b] から位相空間 X への連続写像 γ、もしくはその像のことである[1]。弧状連結の概念を定義する際に現れ、その文脈では道(みち、path)と呼ばれることも多い。
定義において、閉区間を単位区間 [0, 1] に限る場合もあるが、どちらの定義も同等であることが直ちに従う。X として2次元ユークリッド空間 R3 を取れば、その場合の弧とは、空間曲線の連結な一部分であり、日常的な語の意味に近くなる。さらに、γ として全単射であることを要請することが多く、その場合の弧は、「自己交叉を持たず、閉でもなく、始点と終点を持つ曲線」である。
現実世界における具体例として、地球の大圏(あるいは大楕円)の一部は、大圏コースと呼ばれる。
円弧
上記の定義の特別な場合として円弧を得るには、全単射連続写像 γ : [0, 1] → R2 として
を考えればよい。ここに、r (r > 0) は円の半径、α, β (α < β) は始点および終点の偏角であって、中心角は β − α となる。
半径 r、中心角 θ の円弧の長さ L は
で与えられる。ただし、角の大きさは弧度法で与えているものとしている。度数法によって、α 度と与えられているならば、θ と α は
の関係にあるため、
となる。
脚注
- ^ 松坂 p. 202
参考文献
- 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1989年 ISBN 978-4000054249
関連項目
外部リンク
- Margherita Barile and Eric W. Weisstein. "Arc". mathworld.wolfram.com (英語).