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2005年8月25日 (木) 21:09時点における版

単位ベクトル(unit vector)は、ベクトルのうち、長さが 1 のもの。長さは、原点からの距離（ノルム）などによって定義される。

二つのベクトル ${\boldsymbol {\mathit {a}}},{\boldsymbol {\mathit {e}}}$ があったときに、 ${\boldsymbol {\mathit {e}}}$ が単位ベクトルである、すなわち $|{\boldsymbol {\mathit {e}}}|=1$ であるならば、二つのベクトルのなす角を θ とおけば、

${\boldsymbol {\mathit {a}}}\cdot {\boldsymbol {\mathit {e}}}=({\boldsymbol {\mathit {a}}},{\boldsymbol {\mathit {e}}})=\lVert {\boldsymbol {\mathit {a}}}\rVert \!\cdot \!\lVert {\boldsymbol {\mathit {e}}}\rVert \cos \theta$

となる.表記の中で,最もよく使われると思われるのは左辺と思われるが,数学では中央の形も用いられる. $\lVert {\boldsymbol {\mathit {a}}}\rVert$ は,ベクトルの長さを表している.

${\boldsymbol {\mathit {a}}}$ の ${\boldsymbol {\mathit {e}}}$ 方向の成分を取り出すことができる. このように、ベクトルのある特定方向の成分だけを抽出したいときに使う場合が多い.

単位ベクトルは、数学では ${\boldsymbol {\mathit {e}}}$ で表されることが多い.

一方,力学や電磁気などの理工学的な分野ではある方向を向いた(単位ベクトルでない)ベクトルを ${\boldsymbol {\mathit {r}}}$ としたとき, ${\boldsymbol {\mathit {\hat {r}}}}$ ( ${\boldsymbol {\hat {}}}$ は,カレット 'caret' と言う.)と表記することが多い.数学の場合もカレットを表記する場合がある.

$\lVert {\boldsymbol {\mathit {\hat {r}}}}\rVert ={\frac {\boldsymbol {\mathit {r}}}{|{\boldsymbol {\mathit {r}}}|}}={\frac {\boldsymbol {\mathit {r}}}{r}}$

と言う対応となる. また、接線単位ベクトル（単位接ベクトル）、法線単位ベクトル（単位法ベクトル）、従法線単位ベクトル（単位従法ベクトル）のように、～単位ベクトルの形でそのベクトルの絶対値が 1 であることを表すこともある。

数学と物理の単位ベクトル

数学の場合,n次元ベクトル空間 ${\boldsymbol {\mathit {V^{n}}}}$ まで考慮するため,座標系を表現するため単位ベクトルもn個現れるため,

${\boldsymbol {\mathit {e_{1}}}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},{\boldsymbol {\mathit {e_{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\cdots ,{\boldsymbol {\mathit {e_{n}}}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

となり,長さは

$\lVert {\boldsymbol {\mathit {e}}}\rVert ={\sqrt {\lVert {\boldsymbol {\mathit {e}}}_{1}\rVert ^{2}+\lVert {\boldsymbol {\mathit {e}}}_{2}\rVert ^{2}+\lVert {\boldsymbol {\mathit {e}}}_{3}\rVert ^{2}+\cdots +\lVert {\boldsymbol {\mathit {e}}}_{n}\rVert ^{2}}}$

のようになる.

物理では一般的な座標は空間の3次元と時間を1次元として考慮するため(単純に,3+1)4次元となる.理工学ではよく位置を表すのにアルファベットのrを用い,時間はtを用いる.x,y,zはそれぞれの空間の座標を表している.そのため

${\boldsymbol {\mathit {A}}}({\boldsymbol {\mathit {r}}}(x,y,z),t)={\boldsymbol {\mathit {A}}}({\boldsymbol {\mathit {r}}},t)$

のようになる.時間と言うのは特殊な空間に当たるので, 単位ベクトルは,空間座標のみで考慮する.それぞれの座標軸(x軸,y軸,z軸)方向に平行な長さ1のベクトルを考える.そして,x軸方向は ${\boldsymbol {\mathit {i}}}$ ,y軸方向は ${\boldsymbol {\mathit {j}}}$ ,z軸方向は ${\boldsymbol {\mathit {k}}}$ と表記する.よってこれからrは次に様になることが分かる.

${\boldsymbol {\mathit {r}}}=x{\boldsymbol {\mathit {i}}}+y{\boldsymbol {\mathit {j}}}+z{\boldsymbol {\mathit {k}}}$

$|{\boldsymbol {\mathit {r}}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\boldsymbol {\mathit {\hat {r}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\boldsymbol {\mathit {i}}}+{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\boldsymbol {\mathit {j}}}+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\boldsymbol {\mathit {k}}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {\mathit {r}}}|}}(x{\boldsymbol {\mathit {i}}}+y{\boldsymbol {\mathit {j}}}+z{\boldsymbol {\mathit {k}}})$

@@ 46行目: / 46行目: @@
 \lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_n\rVert^2}</math>
+のようになる.
+物理では一般的な座標は空間の[[3次元]]と時間を1次元として考慮するため(単純に,3+1)4次元となる.理工学ではよく位置を表すのにアルファベットのrを用い,時間はtを用いる.x,y,zはそれぞれの空間の座標を表している.そのため
+<math>\boldsymbol{\mathit{A}}(\boldsymbol{\mathit{r}}(x,y,z),t)=
+\boldsymbol{\mathit{A}}(\boldsymbol{\mathit{r}},t)
+</math>
+のようになる.時間と言うのは特殊な空間に当たるので,
+単位ベクトルは,空間座標のみで考慮する.それぞれの座標軸(x軸,y軸,z軸)方向に'''平行な長さ1'''のベクトルを考える.そして,x軸方向は<math>\boldsymbol{\mathit{i}}</math>
+,y軸方向は<math>\boldsymbol{\mathit{j}}</math>
+,z軸方向は<math>\boldsymbol{\mathit{k}}</math>と表記する.よってこれからrは次に様になることが分かる.
+<math>\boldsymbol{\mathit{r}}=
+x\boldsymbol{\mathit{i}}+
+y\boldsymbol{\mathit{j}}+
+z\boldsymbol{\mathit{k}}</math>
+<math>|\boldsymbol{\mathit{r}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
+<math>\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}=
+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathit{i}}+
+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathit{j}}+
+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathit{k}}=
+\frac{1}{|\boldsymbol{\mathit{r}}|}
+(x\boldsymbol{\mathit{i}}+y\boldsymbol{\mathit{j}}+z\boldsymbol{\mathit{k}})</math>
 ==関連項目==
+*[[次元解析]]
 * [[ベクトル]]
 * [[ベクトル空間]]