正則素数

数論における正則素数とは、円の p 分体の類数を割り切らない、すなわち非正則でないような素数 p のことである。エルンスト・クンマーは、奇素数の正則性が、p が k = 2, 4, 6, …, p − 3 におけるベルヌーイ数の分子を割り切らないことと等価であることを示した。

非正則素数の一部 : 37, 59, 67, 101, ... オンライン整数列大辞典の数列 A000928

正則素数 : オンライン整数列大辞典の数列 A007703

正則素数は、無限に存在すると予想されている。より正確には、e^−1/2 ないし約 61% の素数が、正則であると予想されている(Siegel, 1964)。どちらの予想も、2009 年現在まだ証明されていない。

正則素数を最初に考案したのはクンマーであり、彼はフェルマーの最終定理が、次数が正則素数である場合において正しいことを証明した。

正則でない奇素数は、非正則素数と呼ばれる。分子が p で割り切れるようなベルヌーイ数 B_k の数は、p の非正則指数と呼ばれる。K.L.ジェンセンは、1915年、非正則素数が無限に存在することを示した。

参考文献

• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
• Carl Ludwig Siegel, Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. d. Wiss. Goettingen, Math. Phys. K1., II, 1964, 51-62.

関連記事

• w:Herbrand–Ribet theorem

外部リンク

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: regular prime（英語）