準同型

準同型（じゅんどうけい）あるいは準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう） (homomorphism, morphism) とは、同じ数学的構造をもつ集合の間で定義される、その構造を保つ写像のことである。おもに代数的構造に関するものを準同型と呼ぶことが多い。

準同型写像 f: A → B が与えられたとき、その像 f(A) は B の部分系となる。特に f が単射であれば A は B にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型はしばしば埋め込み（うめこみ、embedding）と呼ばれることがある。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、epimorphism）とも言われる。

準同型写像 f が逆写像 f ^-1 を持ち、なおかつ f ^-1 もまた準同型であるとき、f は同型（どうけい）あるいは同型写像（どうけいしゃぞう）であるという。f が同型ならば f ^-1 も当然同型である。

ある数学的構造を持つ二つの集合 A, B の間に同型写像が存在するとき、A と B は同型であるという（同様の言い回しは準同型でも通用するが、あまり使われないようである）。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。

値域と終域が同じ集合 A である準同型写像 f: A → A は A 上の自己準同型（じこじゅんどうけい、endmorphism）であると言い、さらに f が同型写像であるときには A 上の自己同型（じこどうけい、automorphism）と呼ばれる。

例

群や環の準同型、ベクトル空間の線形写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。また、体の準同型（単位元持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型とよび、さらに全射ならば上への同型であるという。

連続写像は位相空間における準同型であるとみなせる。同型写像に当たるものは全単射かつ両連続な写像であり、それは同相写像あるいは位相同型写像と呼ばれる。

同様に、単調写像（順序を保つ写像・順序を逆にする写像）は順序集合における準同型であり、全単射な単調写像は順序同型（順序を保つ同型・順序を逆にする同型）であるという。

基点を持つ集合の間の準同型とは、基点を基点にうつす写像である。

その他

本質的には、準同型写像とは特定の数学的構造のなす圏における射 (morphism) になっているような写像のことであると言ってよい。（もちろん一般の圏ではその対象は集合とは限らないし、その射が写像であるとも限らない。）

数学的構造を演算とみなす（例えば、単位元の存在を 0 項演算とおもってみる）とき、準同型というのはその演算との可換性を要求されているとみることもできる。

また、まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。

関連項目

• 構造 (数学)
  • 代数的構造
  • 順序的構造
  • 位相的構造

• 群論
• 環論
• 体論
• ベクトル空間
• リー群
• リー環

• 連続写像

• 圏論