体 (数学)

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可換
のみ
両方 非可換
のみ
可換体
斜体
可除環
非可換体

数学において、(たい)という用語は、四則演算が(零で割ることを除いて)自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を(初学者にはこちらが取りつきやすいであろう)、後者については斜体(これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる)の項を参照されたい。

定義をきちんと述べれば、

「体とは、単位的環であって、その非零元の全体が乗法に関してを成すものを言う」

あるいは

「体とは、非自明な単位的環であって、任意の非零元が乗法逆元を持つものを言う」

などと書くことができる。

この代数的構造はリヒャルト・デーデキントレオポルト・クロネッカーがそれぞれ独立に(そして極めて異なる方法で)導入したが、体という呼称は実数または複素数からなる四則演算に関して閉じている部分集合を表すものとしてドイツ語を意味する Körper を用いたのが由来である(それがゆえに、任意の体を表すのにしばしば K をプレースホルダとして用いる)。