| この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "シルベスター行列" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2019年6月) |
シルベスター行列(シルベスターぎょうれつ、英語: Sylvester matrix)とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。名称は英国の数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。
2つの多項式を以下のようにする。
このとき、 個の変数をもつ連立方程式
が自明でない解 ) を持つことと、, が共通根 を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される 次の正方行列である。
また、この行列の行列式を と表し、終結式(しゅうけつしき、英語: resultant; リザルタント)またはシルベスター行列式と言う。
と因数分解するとき、
と が共通根をもつための必要十分条件は である。多項式 が重根をもつための必要十分条件は とその導多項式 が共通根を持つことであり、また、 の判別式 が となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として