シルベスター行列

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シルベスター行列(シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix)とは、2つの多項式共通根を持つか否かを判定する行列である。

概要[編集]

2つの多項式を以下のようにする。

f(x)=a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an
g(x)=b0xm + b1xm−1 + … + bm−1x + bm

このとき、(m + n) 個の変数をもつ連立方程式

が自明でない解 xk = αm+n−1−k (0 ≤ km + n − 1) を持つことと、f, g が共通根 α を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される (m + n) 次の正方行列である。

また、この行列の行列式を R(f,g) と表し、終結式(しゅうけつしき、resultant; リザルタント)またはシルベスター行列式と言う。

と因数分解するとき、

f(x) と g(x) が共通根をもつための必要十分条件は R(f,g) = 0 である。多項式 f(x)=a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an重根をもつための必要十分条件は f とその導多項式 f′ が共通根を持つことであり、また、f判別式 D(f) が 0 となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として