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数学において、アベル・プラナの和公式(英: Abel–Plana summation formula)は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である[1]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )\\&\sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eab15662cba6e3782e7ca2f454e2e92e923bf21)
但し、
が
において正則であり、
について一様に
![{\displaystyle \lim _{y\to +\infty }e^{-2{\pi }y}f(x{\pm }iy)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f301807a1da85e031cec189bead64bcd4c80024)
であることを条件とする。更に
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\int _{0}^{+\infty }{\frac {f(x{\pm }iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4525cd42904d4776c3cb304f6c106040bd7d3388)
であれば
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{\infty }f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7c98fa56723fd5ed64c85a15c1ddee7af24c7b)
となる。
は
に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路
が実軸を
で切るようにすれば、留数の定理により、
![{\displaystyle 2{\pi }i\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\oint _{C}\pi \cot {{\pi }z}f(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c961617f40f30627c2d49ca6360efd7cf142d82)
である。積分経路の表記を
![{\displaystyle {\begin{aligned}&C_{1}:a,a+i\infty ,b+i\infty ,b\\&C_{2}:a,a-i\infty ,b-i\infty ,b\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea02051893e7cc671bd4b817fcedc5c12f8154d1)
とすると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=-i\oint _{C}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-i\oint _{C_{2}-C_{1}}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{2}}f(z)-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{1}}f(z)dz\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a516c1691d30d229c078005809eeb42245497e04)
であるが、
は仮定により正則であるから、
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=2\int _{a}^{b}f(z)dz-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4645d6b9c349c981cfc95ef0ef022490e9468cbe)
である。さて、
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\left|1-i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|1+{\frac {e^{{\pi }iz}+e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\geq }1)\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\left|1+i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|{\frac {2e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{-2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\leq }-1)\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a43757b549a2f5ac13002b245c25b281cb5077)
であり、仮定により
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }y}\left|f(x{\pm }iy)\right|dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493fdf54c4ef525708928ccd715dd0d8e0af6804)
であるから
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{b+i\infty }^{b}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{a}^{a+i\infty }\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }b}\right)\right)f(b+z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }a}\right)\right)f(a+z)dz\qquad (z\rightarrow {b+z,a+z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }b}\right)\right)f(b+iy)dy+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }a}\right)\right)f(a+iy)dy\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{a}^{a-i\infty }\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{b-i\infty }^{b}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }a}\right)\right)f(a-z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }b}\right)\right)f(b-z)dz\qquad (z\rightarrow {a-z,b-z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }a}\right)\right)f(a-iy)dz+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }b}\right)\right)f(b-iy)dz\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf93945fad47ccb19c920c3ea3d7ee1edf11cbd)
である。また、
![{\displaystyle i+\cot {z}=i+i{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}={\frac {2ie^{iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}=-{\frac {2i}{e^{-2iz}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83dc6929cc4f2bcdc23502778a4185010661b514)
であるから、以上を綜合して
![{\displaystyle \sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4feb527a1cbf2853a5b436819c8a3640b925ae)
を得る。また、
が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、
![{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ce9da614310628a06018faa00c92589a53d8d8)
となる。
オイラーの和公式との関係[編集]
を
を中心としたテイラー級数に、
を
を中心としたテイラー級数に展開すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)(iy)^{k}-f^{(k)}(a)(-iy)^{k}-f^{(k)}(b)(iy)^{k}+f^{(k)}(b)(-iy)^{k}}{\left(e^{2{\pi }y}-1\right)k!}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be97330a5fb44058fe0384ab0dae73f34cd527d9)
となるが、最後の積分は
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-2{\pi }y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi }y}}}dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }ny}y^{2k-1}dy\\&={\frac {1}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad (t=2{\pi }ny)\\&={\frac {(2k-1)!}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\\&={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6438d0bcdd69d9aae3b34792b00c5cf0b4a03523)
であるから
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74166dceac84308d79b3de9d5f07f5f45d284da)
となり、オイラーの和公式を得る。なお、
はベルヌーイ数である。
- ^ Wolfram Mathworld: Abel-Plana Formula