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連接環 （れんせつかん、英 : coherent ring 、仏 : anneau cohérent ）の概念はネーター環 の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏 をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層 の概念も定義される。
連接環 [ 編集 ]
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
加群 とする。次が完全列 になるような自由加群
L
1
{\displaystyle L_{1}}
L
0
{\displaystyle L_{0}}
L
1
⟶
L
0
⟶
M
⟶
0
{\displaystyle L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}
これは
M
{\displaystyle M}
表示 (présentation) と呼ばれる。加群
M
{\displaystyle M}
L
0
{\displaystyle L_{0}}
有限型 (type fini) であり、
L
0
{\displaystyle L_{0}}
L
1
{\displaystyle L_{1}}
有限表示 (présentation finie) と呼ばれる[1]
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
連接 (cohérent) と呼ばれる。環
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である[2] 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない[3]
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
[4]
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
R
{\displaystyle R}
R
n
⟶
M
{\displaystyle R^{n}\longrightarrow M}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
N
{\displaystyle N}
f
:
N
→
M
{\displaystyle f:N\rightarrow M}
ker
(
f
)
{\displaystyle \ker(f)}
R
{\displaystyle R}
有限型左自由
R
{\displaystyle R}
すべての有限表示左
R
{\displaystyle R}
すべての整数
n
{\displaystyle n}
R
{\displaystyle R}
R
n
⟶
R
{\displaystyle R^{n}\longrightarrow R}
連接シルヴェスター環 [ 編集 ]
R
{\displaystyle R}
オール環 （フランス語版 ） シルヴェスター環 （フランス語版 ）
R
{\displaystyle R}
[6] 例えば、右ベズー環 は右連接シルヴェスター環である。 可換シルヴェスター環
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
GCD環 であるとき、かつそのときに限る[7]
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
ハーディ 環
H
∞
(
D
)
{\displaystyle H^{\infty }\left(D\right)}
[8] グロタンディーク圏における一般化 [ 編集 ] グロタンディーク圏 [ 編集 ] 次のようなアーベル圏
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
グロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族
(
G
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(G_{i}\right)_{i\in I}}
[9]
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
A
′
{\displaystyle A'}
A
{\displaystyle A}
(
A
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}
A
{\displaystyle A}
⋃
i
∈
I
(
A
′
∩
A
i
)
=
A
′
∩
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
.
{\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}\left(A^{\prime }\cap A_{i}\right)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}\right).}
環
R
{\displaystyle R}
R
M
o
d
{\displaystyle _{R}Mod}
R
R
{\displaystyle _{R}R}
X
{\displaystyle X}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
X
{\displaystyle X}
O
X
M
o
d
{\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }
X
{\displaystyle X}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
層 （フランス語版 ）
O
X
M
o
d
{\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }
[10]
O
X
M
o
d
{\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }
O
X
|
U
{\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
[11] 連接対象 [ 編集 ]
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
A
{\displaystyle A}
有限型 (type fini) と呼ばれる。
⋃
i
∈
I
A
i
=
A
{\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A}
A
{\displaystyle A}
(
A
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}
A
i
=
A
{\displaystyle A_{i}=A}
j
{\displaystyle j}
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
A
{\displaystyle A}
連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射
f
:
B
→
A
{\displaystyle f:B\rightarrow A}
B
{\displaystyle B}
ker
(
f
)
{\displaystyle \ker(f)}
[12]
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
G
{\displaystyle G}
0
⟶
A
′
⟶
A
⟶
A
′
′
⟶
0
{\displaystyle 0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0}
を
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
A
{\displaystyle A}
∐
i
∈
J
G
i
⟶
A
⟶
0
{\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}
ただし
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
A
{\displaystyle A}
∐
i
∈
J
G
i
⟶
A
{\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A}
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
∐
i
∈
K
G
i
⟶
∐
i
∈
J
G
i
⟶
A
⟶
0
{\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}
ただし
K
⊂
I
{\displaystyle K\subset I}
すべての連接対象からなる
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
C
o
h
C
{\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}}
C
o
h
C
⟶
C
{\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}}
[13]
圏
R
M
o
d
{\displaystyle _{R}Mod}
圏
O
X
M
o
d
{\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
環の連接層 [ 編集 ] 環
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合
U
⊂
X
{\displaystyle U\subset X}
O
X
|
U
{\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}
O
X
n
|
U
⟶
O
X
|
U
{\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}
[14] すると以下の結果が成り立つ[15]
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
O
X
q
⟶
O
X
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
O
X
q
(
U
)
|
U
⟶
O
X
p
(
U
)
|
U
→
F
|
U
⟶
0
{\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0}
が存在する。 脚注と参考文献 [ 編集 ]
^ (Bourbaki 2007 )
^ a b (Cohn 1985 ), p. 554
^ (Bourbaki 2006 ), §I.2, exercice 12(f)
^ (Bourlès & Marinescu 2011 ), Lem. 508
^ 他の同値条件は (Bourbaki 2006 ), §I.2, exercice 12 を参照せよ
^ (Dicks & Sontag 1978 ), Thm. 10
^ (Dicks 1983 ), Lem. 4.1
^ (Quadrat 2003 ), Cor. 3.31
^ (Grothendieck 1957 ), §1.5
^ (Grothendieck 1957 ), Prop. 3.1.1
^ (Grothendieck & Dieudonné 1960 ), (3.1.5)
^ (Roos 1969 ), Sect. 2, Def. 1
^ (Oberst 1970 ), Chap. I
^ (Grothendieck & Dieudonné 1960 ), §5
^ (Serre 1955 ), §2, Prop.7
参考文献 [ 編集 ] N. Bourbaki , Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique 2007 , 216 p. (ISBN 3540344926 N. Bourbaki , Algèbre commutative, chapitres 1 à 4 2006 , 364 p. (ISBN 354033937X (en ) Henri Bourlès および Bogdan Marinescu , Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach , Springer , 2011 , 638 p. (ISBN 978-3-64219726-0 lire en ligne ) (en ) Paul Moritz Cohn , Free Rings and their Relations (2nd ed.) , Academic Press, 1985 , 595 p. (ISBN 0121791521 (en ) Warren Dicks , « Free algebras over Bézout domains are Sylvester domains » , Journal of Pure and Applied Algebra vol. 27, 1983 , p. 15-28(en ) Warren Dicks および Eduardo D. Sontag , « Sylvester Domains » , Journal of Pure and Applied Algebra vol. 13, 1978 , p. 243-275 (lire en ligne ) Alexandre Grothendieck , « Sur quelques points d'algèbre homologique I », Tohoku Mathematical Journal , vol. 9, 1957 , p. 119-184 (lire en ligne ) Alexandre Grothendieck , « Sur quelques points d'algèbre homologique II », Tohoku Mathematical Journal , vol. 9, 1957 , p. 185-221 (lire en ligne ) Alexander Grothendieck および Jean Dieudonné , « Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas », Publications Mathématiques de l'IHÉS , 1960 , p. 5-228 (lire en ligne ) (en ) John C. McConnell および James C. Robson , Noncommutative Noetherian Rings , American Mathematical Society, 2001 , 636 p. (ISBN 0821821695 lire en ligne ) (en ) Ulrich Oberst , « Duality Theory for Grothendieck Categories and Linearly Compact Rings » , Journal of Algebra vol. 15, no 4, 1970 , p. 473-542 (lire en ligne ) (en ) Alban Quadrat , « The fractional representation approach to synthesis problems: an algebraic analysis viewpoint. Part I: (weakly) doubly coprime factorizations » , SIAM J. Control Optim. vol. 42, no 1, 2003 , p. 266-299(en ) Jan-Erik Roos , « Locally noetherian categories and generalized strictly linear compact rings. Applications » , Category Theory, Homology Theory and their applications II, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Vol. 92 1969 , p. 197-277 (lire en ligne ) Jean-Pierre Serre , « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics , vol. 61, no 2, 1955 , p. 197-278 (lire en ligne ) 
