状態数

状態数（じょうたいすう）は、統計力学において、系のエネルギーが（マクロにみて）ある値をとるときに、系が取りうる（ミクロな）状態の数である。ミクロカノニカルアンサンブルにおける分布関数の規格化係数として現れる。

系の取りうる全ての状態の集合を Ω とし、系のエネルギーがマクロにみて E であるときに系が取りうる状態の集合を Ω(E) とするとき、状態数 W(E) は

$W(E)=\sum _{\omega \in \Omega }\chi _{\Omega (E)}(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega (E)}1$$W(E)=\sum _{{\omega \in \Omega }}\chi _{{\Omega (E)}}(\omega )=\sum _{{\omega \in \Omega (E)}}1$

によって定義される。ここで χ は部分集合 Ω(E) の指示関数で、ω が Ω(E) に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す関数である。

$\chi _{\Omega (E)}(\omega )={\begin{cases}1&\omega \in \Omega (E)\\0&\omega \notin \Omega (E)\\\end{cases}}$$\chi _{{\Omega (E)}}(\omega )={\begin{cases}1&\omega \in \Omega (E)\\0&\omega \notin \Omega (E)\\\end{cases}}$

系が状態 ω をとるときのエネルギーを ${\mathcal {E}}(\omega )$${\mathcal {E}}(\omega )$ として、部分集合 Ω(E) が

$\Omega (E)=\{\omega \in \Omega ;E-\delta E<{\mathcal {E}}(\omega )\leq E\}$$\Omega (E)=\{\omega \in \Omega ;E-\delta E<{\mathcal {E}}(\omega )\leq E\}$

であるとき、ディラックのデルタ関数を用いれば指示関数は

$\chi _{\Omega (E)}(\omega )=\int _{E-\delta E}^{E}\delta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))\,dE$$\chi _{{\Omega (E)}}(\omega )=\int _{{E-\delta E}}^{E}\delta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))\,dE$

と表される。このとき、状態数は

$W(E)=\int _{E-\delta E}^{E}D(E)\,dE$$W(E)=\int _{{E-\delta E}}^{E}D(E)\,dE$

$D(E)=\sum _{\omega \in \Omega }\delta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))$$D(E)=\sum _{{\omega \in \Omega }}\delta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))$

となる。ここで D(E) は状態密度と呼ばれる。エネルギーの幅 δE を無限大へと拡張したときの状態数 N(E) は

$N(E)=\int _{-\infty }^{E}D(E)\,dE$$N(E)=\int _{{-\infty }}^{E}D(E)\,dE$

で定義される。N(E) は系のエネルギーがマクロにみて E 以下である状態の数である。

量子系においては状態が離散的であり、状態数も離散的な数となる。しかし、通常の統計力学においては非常に膨大な数の状態を扱い、状態数は連続的な関数であるとみなすことができる。

フェルミ統計

ある1粒子系を考えたとき、1粒子状態密度 D₁(E) はこの系のエネルギー準位の密度分布を表す。この系をn-粒子系に拡張したときにエネルギー準位の密度分布が変化しないとする。この系がフェルミ系であるとき、状態数 N(E) が粒子数 n と等しくなるエネルギー E_F はフェルミエネルギーと呼ばれる。

$n=N(E_{\text{F}})=\int _{-\infty }^{E_{\text{F}}}D_{1}(E)\,dE$$n=N(E_{{\text{F}}})=\int _{{-\infty }}^{{E_{{\text{F}}}}}D_{1}(E)\,dE$

フェルミ系において、各エネルギー準位には1つの粒子しか入らない。系が基底状態にあるときには粒子はエネルギーが小さい準位から占有していき、フェルミエネルギーに等しい準位までが占有される。

絶対零度において系は基底状態にある。エネルギー準位によって決まる物理量は

$A=\int _{-\infty }^{E_{\text{F}}}{\mathcal {A}}(E)D_{1}(E)\,dE$$A=\int _{{-\infty }}^{{E_{{\text{F}}}}}{\mathcal {A}}(E)D_{1}(E)\,dE$

となる。絶対零度において、フェルミエネルギーより上の準位には粒子が存在しないので、積分範囲はフェルミエネルギーまでとなる。これをヘヴィサイドの階段関数を用いて

$A=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {A}}(E)\eta (E_{\text{F}}-E)D_{1}(E)\,dE$$A=\int _{{-\infty }}^{\infty }{\mathcal {A}}(E)\eta (E_{{\text{F}}}-E)D_{1}(E)\,dE$

と表す。有限温度においては、温度による励起の影響を反映して、階段関数が置き換えられて

$A=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {A}}(E)f(E)D_{1}(E)\,dE$$A=\int _{{-\infty }}^{\infty }{\mathcal {A}}(E)f(E)D_{1}(E)\,dE$

となる。このときの f(E) がフェルミ分布関数である。

関連項目

• 統計力学
• 分配関数（状態和）
• 量子力学
• フェルミ・ディラック統計