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トランスクリティカル分岐（英語: transcritical bifurcation）は、力学系における分岐の一種。安定性交替型分岐ともいう。安定な固定点と不安定な固定点が衝突し、安定性が入れ替わるような分岐を起こす。

トランスクリティカル分岐は、固定点近傍で起こる局所的分岐の一種で、1次元以上の系で起こる。連続力学系と離散力学系のどちらにもトランスクリティカル分岐と分類されるものがあり、連続力学系の標準形は1次元常微分方程式の

{\frac {dx}{dt}}=\mu x\mp x^{2}

で、離散力学系の標準形は1次元写像の

x\mapsto x+\mu x\mp x^{2}

で与えられる。

特徴

力学系には、連続的な時間で考える連続力学系と、離散的な時間で考える離散力学系がある^[1]。どちらの種類の力学系でも、トランスクリティカル分岐と見なされる分岐が存在する^[2]。力学系の分岐には、固定点（連続力学系では平衡点ともいう）の近傍の振る舞いが変化する局所的分岐と、1つの固定点の近傍に限定されない大局的な振る舞いが変化する大域的分岐がある^[3]。トランスクリティカル分岐は局所的分岐の主な例の一つで、1次元以上の系で起こり得る^[4]。ただし、多次元相空間で起こる場合でもトランスクリティカル分岐による振る舞いの変化はある1次元部分空間上に制限されており、中心多様体の理論によって1次元ベクトル場または1次元写像の分析に帰着できる^[5]。

トランスクリティカル分岐には、2つの固定点が関わる^[6]。1つの固定点は安定（源点）で、もう一つの固定点は不安定（沈点）である^[7]。パラメータを変化させると、1つの固定点がもう1つの固定点に近づいていき、衝突して通り過ぎる。したがって、トランスクリティカル分岐では固定点の数は分岐（衝突）後も変わらない^[8]。しかし、それぞれの固定点の安定性が分岐によって入れ替わる^[9]。このような2つの固定点間での安定性の交換がトランスクリティカル分岐の特徴であり、安定性交替型分岐とも呼ばれる^[6]。

トランスクリティカル分岐は非双曲型固定点で起こる分岐であり、連続力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 0 を1つ持ち、離散力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 1 を1つ持つ^[10]。このような分岐は連続力学系ではゼロ固有値分岐と呼ばれ、トランスクリティカル分岐はその一種である^[11]。

標準形・分岐図

連続力学系

分岐理論における標準形とは、ある種類の分岐を起こす具体的で簡単な形をした系であり、その種類の分岐を起こす一般的な系は分岐点近傍において標準形に変換できる^[12]。連続力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元常微分方程式で与えられる^[13]。

{\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu )=\mu x\mp x^{2}

ここで、 $t \in ℝ$ は独立変数で時間を意味し、 $x \in ℝ$ は従属変数で状態変数を意味する。 $μ \in ℝ$ は時間に依らない係数で、系のパラメータである^[14]。以下、簡単のため、 $f (x, μ)$ を $f (x)$ とも記す。

上式の右辺第2項の符号が負である場合はスーパークリティカル（超臨界）な分岐と呼ばれ、符号が正である場合はサブクリティカル（亜臨界）な分岐と呼ばれる^[15]。ここでは、上式の右辺第2項の符号が負である場合を考える。ベクトル場の固定点（平衡点）とは、

{\frac {dx}{dt}}=0

を満たす点 $x$ のことで、固定点では系は定常状態にある^[16]。固定点を $x *$ で表すとすれば、トランスクリティカル分岐の標準形の固定点は、 $x * = 0$ と $x * = μ$ の2つである^[7]。 $x - y$ 平面で考えると、 $y = f (x)$ の曲線が $x$ 軸と交わる箇所が固定点である^[17]。 $μ$ を変化させると、 $f (x)$ の曲線は以下の図のように変化する^[18]。

パラメータ $μ$ と固定点 $x *$ の変化を整理すると次のようになっている^[18]。

$μ < 0$ では、 $x * = μ$ は不安定固定点、 $x * = 0$ は安定平衡点である。 $μ$ を増加させていくと、 $x * = μ$ は $0$ へ近づいていく。
$μ = 0$ では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は $x = 0$ のみとなる。
$μ > 0$ では、再び固定点は2つになり、今度は $x * = μ$ が安定固定点、 $x * = 0$ が不安定固定点になる。

パラメータ $μ$ を独立変数とみなし、 $μ - x$ 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図という^[19]。トランスクリティカル分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる^[20]。

離散力学系

離散力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元写像で与えられる^[21]。

x\mapsto f(x,\mu )=x+\mu x\mp x^{2}

連続力学系と同じく、ここでは、右辺第3項の符号が負である場合を考える。この写像の固定点（不動点）とは、

f(x)=x

を満たす点 $x$ である^[22]。連続力学系と同じく固定点を $x *$ で表すと、離散力学系の標準形の固定点は $x * = 0$ および $x * = μ$ である^[21]。 $x - y$ 平面で考えると、 $y = f (x)$ の曲線が $y = x$ の直線と交わる箇所が固定点である^[23]。 $μ$ を変化させると、 $f (x)$ の曲線は以下の図のように変化する^[24]。

パラメータ $μ$ と固定点 $x *$ の変化は次のようになっている^[24]。

$μ < 0$ かつ $| μ | ≪ 1$ では、 $x * = μ$ は不安定固定点、 $x * = 0$ は安定固定点である。 $μ$ を増加させていくと、 $x * = μ$ は $0$ へ近づいていく。
$μ = 0$ では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は $x = 0$ のみとなる。
$μ > 0$ かつ $| μ | ≪ 1$ では、再び固定点は2つになり、今度は $x * = μ$ が安定固定点、 $x * = 0$ が不安定固定点になる。

離散力学系の標準形の分岐図は、連続力学系と同じ形である^[25]。

一般的条件

標準形に限定されない一般的な力学系において、トランスクリティカル分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場

{\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R}

が与えられたとする。ベクトル場 $f (x, μ)$ が固定点 $x * = 0$ を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 $μ c = 0$ で $f (x, μ)$ はトランスクリティカル分岐を起こす^[26]。

{\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=0\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}

上記の一般的条件は $(x = 0, μ = 0)$ に限定されない^[27]。分岐点が任意の値の組 $(x = x *, μ = μ c)$ でも、 $(x = x *, μ = μ c)$ で条件が満たされればトランスクリティカル分岐が起きる^[27]。

別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす $f (x, μ)$ は、 $x$ と $μ$ に適当な変換を施せば、分岐点 $(x = 0, μ = 0)$ 近傍で

{\frac {dy}{dt}}=ay\pm y^{2}+O(x^{3})

という形に書き直すことができる^[28]。ここで、 $y$ は新たな変数、 $a$ は新たなパラメータ、 $O (x 3)$ はランダウの記号である。

離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像

x\mapsto f(x,\mu )

が条件

{\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=1\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}

を満たすとき、 $(x = 0, μ = 0)$ で写像 $f (x, μ)$ はトランスクリティカル分岐を起こす^[29]。

例

次の微分方程式はトランスクリティカル分岐を起こす一例である^[30]。

{\frac {dx}{dt}}=\mu \ln x+x-1

この系では $x = 0$ が $μ$ によらず常に固定点となる^[30]。分岐値は $μ c = -1$ で、 $(x = 0, μ = -1)$ でトランスクリティカル分岐が起こる^[30]。

次の写像は離散力学系でトランスクリティカル分岐を起こす一例で、ロジスティック写像として知られる^[31]^[32]

x\mapsto \mu x(1-x)

この系でも $x = 0$ が $μ$ によらず常に固定点である^[31]^[32]。分岐値は $μ c = 1$ で、 $(x = 0, μ = 1)$ でトランスクリティカル分岐が起こる^[31]^[32]。

一般に、連続力学系の周期軌道の問題は、ポアンカレ写像によって次元を1つ減らした離散力学系の問題に帰着できる^[33]。周期軌道のポアンカレ写像がトランスクリティカル分岐が起こす場合は、元の相空間上では2つの安定・不安定な周期軌道が衝突・通過し、安定性が入れ替わるような挙動となる^[34]。

出典

^ 白石謙一、2014、『力学系の理論』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730152-0 p. 167
^ 小室 2005, pp. 83, 94; ウィギンス 2013, pp. 266, 369; 松葉 2011, pp. 229, 231.
^ 松葉 2011, p. 204.
^ 松葉 2011, pp. 204, 223.
^ Strogatz 2015, pp. 264–265; ウィギンス 2013, pp. 256, 364.
^ ^a ^b 小室 2005, pp. 83, 95–96.
^ ^a ^b 松葉 2011, p. 229.
^ 桑村 2015, p. 95.
^ Strogatz 2015, p. 57.
^ ウィギンス 2013, pp. 256, 364.
^ Strogatz 2015, p. 272; 桑村 2015, p. 115.
^ Strogatz 2015, p. 59; 桑村 2015, p. 116.
^ 小室 2005, pp. 84; ウィギンス 2013, pp. 268–269.
^ ウィギンス 2013, pp. 1, 258.
^ ピエール・ベルジュ、イヴェ・ポモウ、クリスチャン・ビダル、相澤洋二（訳）、1992、『カオスの中の秩序 ―乱流の理解に向けて』初版、産業図書 ISBN 4-7828-0068-1 pp. 255–260
^ Strogatz 2015, p. 161.
^ Strogatz 2015, p. 19.
^ ^a ^b Strogatz 2015, p. 57; 桑村 2015, p. 95.
^ 松葉 2011, p. 209.
^ 小室 2005, p. 84.
^ ^a ^b 松葉 2011, p. 231.
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^ K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012、『カオス　第1巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4 p. 6
^ ^a ^b 小室 2005, p. 95.
^ ウィギンス 2013, p. 370.
^ ウィギンス 2013, pp. 266–268.
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^ 桑村 2015, p. 114.
^ ウィギンス 2013, pp. 370–372.
^ ^a ^b ^c Strogatz 2015, pp. 58–59; 桑村 2015, pp. 95–96.
^ ^a ^b ^c 小室 2005, pp. 112–116.
^ ^a ^b ^c Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1 p. 344
^ 小室 2005, p. 23.
^ 小室 2005, pp. 106–110.

参照文献

小室元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
松葉育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
S. ウィギンス、丹羽敏雄（監訳）、今井桂子・田中茂・水谷正大・森真（訳）、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1
Steven H. Strogatz、田中久陽・中尾裕也・千葉逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
桑村雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、トランスクリティカル分岐に関するカテゴリがあります。
Weisstein, Eric W. "Transcritical Bifurcation". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] 白石謙一、2014、『力学系の理論』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730152-0 p. 167

[FOOTNOTE小室200583,_94ウィギンス2013266,_369松葉2011229,_231-2] 小室 2005, pp. 83, 94; ウィギンス 2013, pp. 266, 369; 松葉 2011, pp. 229, 231.

[FOOTNOTE松葉2011204-3] 松葉 2011, p. 204.

[FOOTNOTE松葉2011204,_223-4] 松葉 2011, pp. 204, 223.

[FOOTNOTEStrogatz2015264–265ウィギンス2013256,_364-5] Strogatz 2015, pp. 264–265; ウィギンス 2013, pp. 256, 364.

[FOOTNOTE小室200583,_95–96-6] 小室 2005, pp. 83, 95–96.

[FOOTNOTE松葉2011229-7] 松葉 2011, p. 229.

[FOOTNOTE桑村201595-8] 桑村 2015, p. 95.

[FOOTNOTEStrogatz201557-9] Strogatz 2015, p. 57.

[FOOTNOTEウィギンス2013256,_364-10] ウィギンス 2013, pp. 256, 364.

[FOOTNOTEStrogatz2015272桑村2015115-11] Strogatz 2015, p. 272; 桑村 2015, p. 115.

[FOOTNOTEStrogatz201559桑村2015116-12] Strogatz 2015, p. 59; 桑村 2015, p. 116.

[FOOTNOTE小室200584ウィギンス2013268–269-13] 小室 2005, pp. 84; ウィギンス 2013, pp. 268–269.

[FOOTNOTEウィギンス20131,_258-14] ウィギンス 2013, pp. 1, 258.

[15] ピエール・ベルジュ、イヴェ・ポモウ、クリスチャン・ビダル、相澤洋二（訳）、1992、『カオスの中の秩序 ―乱流の理解に向けて』初版、産業図書 ISBN 4-7828-0068-1 pp. 255–260

[FOOTNOTEStrogatz2015161-16] Strogatz 2015, p. 161.

[FOOTNOTEStrogatz201519-17] Strogatz 2015, p. 19.

[FOOTNOTEStrogatz201557桑村201595-18] Strogatz 2015, p. 57; 桑村 2015, p. 95.

[FOOTNOTE松葉2011209-19] 松葉 2011, p. 209.

[FOOTNOTE小室200584-20] 小室 2005, p. 84.

[FOOTNOTE松葉2011231-21] 松葉 2011, p. 231.

[FOOTNOTEStrogatz2015382-22] Strogatz 2015, p. 382.

[23] K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012、『カオス　第1巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4 p. 6

[FOOTNOTE小室200595-24] 小室 2005, p. 95.

[FOOTNOTEウィギンス2013370-25] ウィギンス 2013, p. 370.

[FOOTNOTEウィギンス2013266–268-26] ウィギンス 2013, pp. 266–268.

[FOOTNOTE松葉2011230-27] 松葉 2011, p. 230.

[FOOTNOTE桑村2015114-28] 桑村 2015, p. 114.

[FOOTNOTEウィギンス2013370–372-29] ウィギンス 2013, pp. 370–372.

[FOOTNOTEStrogatz201558–59桑村201595–96-30] Strogatz 2015, pp. 58–59; 桑村 2015, pp. 95–96.

[FOOTNOTE小室2005112–116-31] 小室 2005, pp. 112–116.

[力学系入門-32] Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1 p. 344

[FOOTNOTE小室200523-33] 小室 2005, p. 23.

[FOOTNOTE小室2005106–110-34] 小室 2005, pp. 106–110.

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-'''トランスクリティカル分岐'''（transcritical bifurcation）は、[[分岐 (力学系) |分岐]]の一つ。
+[[File:Transcritical bifurcation.gif|thumb|270px|トランスクリティカル分岐の様子を示すアニメーション。曲線が {{Mvar|x}} 軸と1点で接するときに分岐が起きる。]]
+'''トランスクリティカル分岐'''（{{Lang-en|transcritical bifurcation|links=no}}）は、[[力学系]]における[[分岐 (力学系) |分岐]]の一種。'''安定性交替型分岐'''ともいう。安定な[[不動点|固定点]]と不安定な固定点が衝突し、安定性が入れ替わるような分岐を起こす。
+トランスクリティカル分岐は、固定点近傍で起こる局所的分岐の一種で、1次元以上の系で起こる。連続力学系と離散力学系のどちらにもトランスクリティカル分岐と分類されるものがあり、連続力学系の[[標準形]]は1次元[[常微分方程式]]の
-分岐の前後では、[[安定性 (数学)|安定]]な[[不動点]]と不安定な不動点が存在する。しかし、合わさった時、安定性が交換される。
+:<math>\frac{dx}{dt} = \mu x \mp x^2 </math>
+で、離散力学系の標準形は1次元[[写像]]の
+:<math> x \mapsto x + \mu x \mp x^2 </math>
+で与えられる。
+==特徴==
-[[正準系]]は、
+[[力学系]]には、連続的な時間で考える連続力学系と、離散的な時間で考える離散力学系がある<ref>{{Cite book ja-jp |author= 白石 謙一 |title= 力学系の理論 |url = https://www.iwanami.co.jp/book/b266707.html |publisher= 岩波書店 |edition = オンデマンド版 |year= 2014 |isbn= 978-4-00-730152-0 }} p. 167</ref>。どちらの種類の力学系でも、トランスクリティカル分岐と見なされる分岐が存在する{{Sfnm|小室|2005|1pp=83, 94|ウィギンス|2013|2pp=266, 369|松葉|2011|3pp=229, 231}}。力学系の[[分岐 (力学系)|分岐]]には、[[固定点]]（連続力学系では[[平衡点]]ともいう）の近傍の振る舞いが変化する局所的分岐と、1つの固定点の近傍に限定されない大局的な振る舞いが変化する大域的分岐がある{{Sfn|松葉|2011|p=204}}。トランスクリティカル分岐は局所的分岐の主な例の一つで、1次元以上の系で起こり得る{{Sfn|松葉|2011|pp=204, 223}}。ただし、多次元相空間で起こる場合でもトランスクリティカル分岐による振る舞いの変化はある1次元部分空間上に制限されており、[[中心多様体]]の理論によって1次元ベクトル場または1次元写像の分析に帰着できる{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=264&ndash;265|ウィギンス|2013|2pp=256, 364}}。
-{{Indent|<math> \frac{dx}{dt}=rx-x^2. \, </math>}}
-である。
+トランスクリティカル分岐には、2つの固定点が関わる{{Sfn|小室|2005|pp=83, 95&ndash;96}}。1つの固定点は安定（[[源点]]）で、もう一つの固定点は不安定（[[沈点]]）である{{Sfn|松葉|2011|p=229}}。パラメータを変化させると、1つの固定点がもう1つの固定点に近づいていき、衝突して通り過ぎる。したがって、トランスクリティカル分岐では固定点の数は分岐（衝突）後も変わらない{{Sfn|桑村|2015|p=95}}。しかし、それぞれの固定点の安定性が分岐によって入れ替わる{{Sfn|Strogatz|2015|p=57}}。このような2つの固定点間での安定性の交換がトランスクリティカル分岐の特徴であり、'''安定性交替型分岐'''とも呼ばれる{{Sfn|小室|2005|pp=83, 95&ndash;96}}。
-この式はロジスティック方程式に似ているが、''r'' と ''x'' は正と負の値をとりうる（一方ロジスティック方程式の場合非負である）。
+トランスクリティカル分岐は[[双曲型平衡点|非双曲型固定点]]で起こる分岐であり、連続力学系では分岐点で[[ヤコビ行列]]が[[固有値]] 0 を1つ持ち、離散力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 1 を1つ持つ{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=256, 364}}。このような分岐は連続力学系では'''ゼロ固有値分岐'''と呼ばれ、トランスクリティカル分岐はその一種である{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=272|桑村|2015|2p=115}}。
-== 関連項目 ==
-* [[分岐図 (力学系)|分岐図]]
+==標準形・分岐図==
+===連続力学系===
+分岐理論における[[標準形]]とは、ある種類の分岐を起こす具体的で簡単な形をした系であり、その種類の分岐を起こす一般的な系は分岐点近傍において標準形に変換できる{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=59|桑村|2015|2p=116}}。連続力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元[[常微分方程式]]で与えられる{{Sfnm|小室|2005|1pp=84|ウィギンス|2013|2pp=268&ndash;269}}。
+:<math>\frac{dx}{dt} = f(x, \mu) = \mu x \mp x^2 </math>
+ここで、{{Math|''t'' &isin; &#8477;}} は独立変数で時間を意味し、{{Math|''x'' &isin; &#8477;}} は従属変数で状態変数を意味する。{{Math|''&mu;'' &isin; &#8477;}} は時間に依らない係数で、系のパラメータである{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=1, 258}}。以下、簡単のため、{{Math|''f''(''x'', ''&mu;'')}} を {{Math|''f''(''x'')}} とも記す。
+上式の右辺第2項の符号が負である場合はスーパークリティカル（超臨界）な分岐と呼ばれ、符号が正である場合はサブクリティカル（亜臨界）な分岐と呼ばれる<ref>{{Cite book ja-jp |author = ピエール・ベルジュ、イヴェ・ポモウ、クリスチャン・ビダル |translator = 相澤 洋二 |title = カオスの中の秩序 ―乱流の理解に向けて |edition = 初版 |publisher = 産業図書 |year = 1992 |isbn = 4-7828-0068-1 }} pp. 255&ndash;260</ref>。ここでは、上式の右辺第2項の符号が負である場合を考える。ベクトル場の固定点（[[平衡点]]）とは、
+:<math>\frac{dx}{dt} = 0 </math>
+を満たす点 {{Mvar|x}} のことで、固定点では系は定常状態にある{{Sfn|Strogatz|2015|p=161}}。固定点を {{Math|''x''<sup>*</sup>}} で表すとすれば、トランスクリティカル分岐の標準形の固定点は、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} と {{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} の2つである{{Sfn|松葉|2011|p=229}}。{{Math|''x''-''y''}} 平面で考えると、{{Math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} の曲線が {{Mvar|x}} 軸と交わる箇所が固定点である{{Sfn|Strogatz|2015|p=19}}。{{Mvar|&mu;}} を変化させると、{{Math|''f''(''x'')}} の曲線は以下の図のように変化する{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=57|桑村|2015|2p=95}}。
+[[File:Transcritical bifurcation of normal form for continuous time dynamical system.png|thumb|center|600px|連続力学系の標準形（右辺第2項符号が負の場合）において、パラメータ {{Mvar|&mu;}} を変化させたときの {{Math|''x''-''f''(''x'')}} グラフの様子]]
+パラメータ {{Mvar|&mu;}} と固定点 {{Math|''x''<sup>*</sup>}} の変化を整理すると次のようになっている{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=57|桑村|2015|2p=95}}。
+*{{Math|''&mu;'' < 0}} では、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} は不安定固定点、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} は安定平衡点である。{{Mvar|&mu;}} を増加させていくと、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} は {{Math|0}} へ近づいていく。
+*{{Math|''&mu;'' {{=}} 0}} では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は {{Math|''x'' {{=}} 0}} のみとなる。
+*{{Math|''&mu;'' > 0}} では、再び固定点は2つになり、今度は {{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} が安定固定点、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} が不安定固定点になる。
+パラメータ {{Mvar|&mu;}} を独立変数とみなし、{{Math|''&mu;''-''x''}} 平面で固定点の様子を描いたものを[[分岐図 (力学系)|分岐図]]という{{Sfn|松葉|2011|p=209}}。トランスクリティカル分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる{{Sfn|小室|2005|p=84}}。
+[[File:Bifurcation diagram of transcritical bifurcation.svg|thumb|center|500px|トランスクリティカル分岐の[[分岐図 (力学系)|分岐図]]]]
+===離散力学系===
+離散力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元[[写像]]で与えられる{{Sfn|松葉|2011|p=231}}。
+:<math> x \mapsto f(x, \mu) = x + \mu x \mp x^2 </math>
+連続力学系と同じく、ここでは、右辺第3項の符号が負である場合を考える。この写像の固定点（[[不動点]]）とは、
+:<math> f(x) = x </math>
+を満たす点 {{Mvar|x}} である{{Sfn|Strogatz|2015|p=382}}。連続力学系と同じく固定点を {{Math|''x''<sup>*</sup>}} で表すと、離散力学系の標準形の固定点は {{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} および {{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} である{{Sfn|松葉|2011|p=231}}。{{Math|''x''-''y''}} 平面で考えると、{{Math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} の曲線が {{Math|''y'' {{=}} ''x''}} の直線と交わる箇所が固定点である<ref>{{Cite book ja-jp |author = K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク |translator = 星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏 |others = 津田 一郎（監訳） |title= カオス　第1巻　力学系入門 |url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b302600.html |publisher = 丸善出版 |year = 2012 |isbn = 978-4-621-06223-4 }} p. 6</ref>。{{Mvar|&mu;}} を変化させると、{{Math|''f''(''x'')}} の曲線は以下の図のように変化する{{Sfn|小室|2005|p=95}}。
+[[File:Transcritical bifurcation of normal form for discrete time dynamical system.png|thumb|center|600px|トランスクリティカル分岐の標準形のパラメータ {{Mvar|&mu;}} を変化させたときの {{Math|''f'' (''x'')-''x''}} グラフの様子]]
+パラメータ {{Mvar|&mu;}} と固定点 {{Math|''x''<sup>*</sup>}} の変化は次のようになっている{{Sfn|小室|2005|p=95}}。
+*{{Math|''&mu;'' < 0}} かつ {{Math|{{abs|''&mu;''}} &#8810; 1}} では、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} は不安定固定点、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} は安定固定点である。{{Mvar|&mu;}} を増加させていくと、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} は {{Math|0}} へ近づいていく。
+*{{Math|''&mu;'' {{=}} 0}} では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は {{Math|''x'' {{=}} 0}} のみとなる。
+*{{Math|''&mu;'' > 0}} かつ {{Math|{{abs|''&mu;''}} &#8810; 1}} では、再び固定点は2つになり、今度は {{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} ''&mu;''}} が安定固定点、{{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} が不安定固定点になる。
+離散力学系の標準形の分岐図は、連続力学系と同じ形である{{Sfn|ウィギンス|2013|p=370}}。
+==一般的条件==
+標準形に限定されない一般的な力学系において、トランスクリティカル分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場
+:<math>\frac{dx}{dt} = f(x, \mu),\ x \isin \R,\ \mu \isin \R</math>
+が与えられたとする。ベクトル場 {{Math|''f''(''x'', ''&mu;'')}} が固定点 {{Math|''x''<sup>*</sup> {{=}} 0}} を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 {{Math|''&mu;<sub>c</sub>'' {{=}} 0}} で {{Math|''f''(''x'', ''&mu;'')}} はトランスクリティカル分岐を起こす{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=266&ndash;268}}。
+:<math>
+\begin{cases}
+\dfrac{\partial f(0,\ 0)}{\partial x} = 0 \\
+\dfrac{\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu} = 0 \\
+\dfrac{\partial^2 f(0,\ 0)}{\partial x^2} \ne 0 \\
+\dfrac{\partial^2 f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu} \ne 0
+\end{cases}
+</math>
+上記の一般的条件は {{Math|(''x'' {{=}} 0, ''&mu;'' {{=}} 0)}} に限定されない{{Sfn|松葉|2011|p=230}}。分岐点が任意の値の組 {{Math|(''x'' {{=}} ''x''<sup>*</sup>, ''&mu;'' {{=}} ''&mu;''<sub>c</sub>)}} でも、{{Math|(''x'' {{=}} ''x''<sup>*</sup>, ''&mu;'' {{=}} ''&mu;''<sub>c</sub>)}} で条件が満たされればトランスクリティカル分岐が起きる{{Sfn|松葉|2011|p=230}}。
+別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす {{Math|''f''(''x'', ''&mu;'')}} は、{{Mvar|x}} と {{Mvar|&mu;}} に適当な変換を施せば、分岐点 {{Math|(''x'' {{=}} 0, ''&mu;'' {{=}} 0)}} 近傍で
+:<math>\frac{dy}{dt} = a y \pm y^2 + O(x^3)</math>
+という形に書き直すことができる{{Sfn|桑村|2015|p=114}}。ここで、{{Mvar|y}} は新たな変数、{{Mvar|a}} は新たなパラメータ、{{Math|''O''(''x''<sup>3</sup>)}} は[[ランダウの記号]]である。
+離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像
+:<math> x \mapsto f(x, \mu) </math>
+が条件
+:<math>
+\begin{cases}
+\dfrac{\partial f(0,\ 0)}{\partial x} = 1 \\
+\dfrac{\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu} = 0 \\
+\dfrac{\partial^2 f(0,\ 0)}{\partial x^2} \ne 0 \\
+\dfrac{\partial^2 f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu} \ne 0
+\end{cases}
+</math>
+を満たすとき、{{Math|(''x'' {{=}} 0, ''&mu;'' {{=}} 0)}} で写像 {{Math|''f''(''x'', ''&mu;'')}} はトランスクリティカル分岐を起こす{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=370&ndash;372}}。
+==例==
+[[File:Example of transcritical bifurcation.png|thumb|300px|<math>\frac{dx}{dt} = \mu \ln x + x -1 </math>で起きるトランスクリティカル分岐の様子。]]
+次の微分方程式はトランスクリティカル分岐を起こす一例である{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=58&ndash;59|桑村|2015|2pp=95&ndash;96}}。
+:<math>\frac{dx}{dt} = \mu \ln x + x -1 </math>
+この系では {{Math|''x'' {{=}} 0}} が {{Mvar|&mu;}} によらず常に固定点となる{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=58&ndash;59|桑村|2015|2pp=95&ndash;96}}。分岐値は {{Math|''&mu;<sub>c</sub>'' {{=}} &minus;1}} で、{{Math|(''x'' {{=}} 0, ''&mu;'' {{=}} &minus;1)}} でトランスクリティカル分岐が起こる{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=58&ndash;59|桑村|2015|2pp=95&ndash;96}}。
+次の写像は離散力学系でトランスクリティカル分岐を起こす一例で、[[ロジスティック写像]]として知られる{{Sfn|小室|2005|pp=112&ndash;116}}<ref name="力学系入門">{{Cite book ja-jp |author= Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney |translator= 桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人 |title= 力学系入門　原著第2版―微分方程式からカオスまで |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018471 |publisher= 共立出版 |edition= 初版 |year= 2007 |isbn= 978-4-320-01847-1}} p. 344</ref>
+:<math> x \mapsto \mu x(1-x) </math>
+この系でも {{Math|''x'' {{=}} 0}} が {{Mvar|&mu;}} によらず常に固定点である{{Sfn|小室|2005|pp=112&ndash;116}}<ref name="力学系入門"/>。分岐値は {{Math|''&mu;<sub>c</sub>'' {{=}} 1}} で、{{Math|(''x'' {{=}} 0, ''&mu;'' {{=}} 1)}} でトランスクリティカル分岐が起こる{{Sfn|小室|2005|pp=112&ndash;116}}<ref name="力学系入門"/>。
+一般に、連続力学系の[[軌道 (力学系)|周期軌道]]の問題は、[[ポアンカレ写像]]によって次元を1つ減らした離散力学系の問題に帰着できる{{Sfn|小室|2005|p=23}}。周期軌道のポアンカレ写像がトランスクリティカル分岐が起こす場合は、元の相空間上では2つの安定・不安定な周期軌道が衝突・通過し、安定性が入れ替わるような挙動となる{{Sfn|小室|2005|pp=106&ndash;110}}。
+==出典==
+{{Reflist|2}}
+==参照文献==
+*{{Cite book ja-jp
+|title = 基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ
+|url = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-1118-2&y=2005
+|author = 小室 元政
+|publisher=サイエンス社
+|year = 2005
+|edition = 新版
+|isbn = 4-7819-1118-8
+|ref = {{Sfnref|小室|2005}}
+}}
+*{{Cite book ja-jp
+|author = 松葉 育雄
+|title = 力学系カオス
+|url = https://www.morikita.co.jp/books/book/599
+|publisher = 森北出版
+|edition= 第1版
+|year= 2011
+|isbn = 978-4-627-15451-3
+|ref = {{Sfnref|松葉|2011}}
+}}
+*{{Cite book ja-jp
+|author= S. ウィギンス
+|translator = 今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真
+|others = 丹羽 敏雄（監訳）
+|title= 非線形の力学系とカオス
+|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294656.html
+|edition = 新装版
+|publisher = 丸善出版
+|year= 2013
+|isbn = 978-4-621-06435-1
+|ref = {{Sfnref|ウィギンス|2013}}
+}}
+*{{Cite book ja-jp
+|author= Steven H. Strogatz
+|translator = 田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人
+|title = ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで
+|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294857.html
+|publisher = 丸善出版
+|year = 2015
+|isbn = 978-4-621-08580-6
+|ref = {{Sfnref|Strogatz|2015}}
+}}
+*{{Cite book ja-jp
+|author = 桑村 雅隆
+|title = パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門
+|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320110045
+|series = シリーズ・現象を解明する数学
+|publisher = 共立出版
+|year = 2015
+|edition = 初版
+|isbn = 978-4-320-11004-5
+|ref= {{Sfnref|桑村|2015}}
+}}
+==外部リンク==
+*{{Commonscat-inline}}
+*{{MathWorld |title = Transcritical Bifurcation |urlname = TranscriticalBifurcation}}
 {{DEFAULTSORT:とらんすくりていかるふんき}}
-[[Category:数学に関する記事]]
 [[Category:分岐理論]]