条件収束

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数学において、級数あるいは積分条件収束(じょうけんしゅうそく)するとは、収束するが絶対収束しないことをいう。

定義[編集]

正確には、級数

条件収束する (converge conditionally) とは、

が存在して有限の数である(−∞ ではない)が、

であることをいう。

古典的な例は次の交代級数

であり、これは log 2 に収束するが、絶対収束しない(調和級数を参照)。

ベルンハルト・リーマン (Bernhard Riemann) はリーマンの級数定理英語版と呼ばれる次の定理を証明した。条件収束する級数は、項の順序を入れ替えることによって、−∞ を含むどんな和にも収束させることができる。

典型的な条件収束積分は sin(x2) の非負の実軸上の積分である(フレネル積分を参照)。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).