平行軸の定理

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平行軸の定理ホイヘンス–スタイナーの定理もしくは単にスタイナーの定理とも言われる[1]クリスティアーン・ホイヘンスヤコブ・スタイナー英語版に由来)によって証明された。物体の重心を通る平行軸周りの物体の慣性モーメントと重心を通る平行軸と任意の軸との垂直距離が与えられたとき、その軸周りの剛体質量慣性モーメント断面二次モーメントを決定するのに使うことができる定理。

質量慣性モーメント[編集]

ある軸周りの質量慣性モーメントは、重心を通る平行軸周りの質量慣性モーメントから求めることができる。

質量mの物体が物体の重心を通る軸zを中心に回転するようになっているとする。物体はこの軸に対して慣性モーメントIcmを持つ。 平行軸の定理は、最初の軸に平行でそこからdだけ動かした新たな軸z′を中心にして物体を回転させると、この軸に対する慣性モーメントIIcm

という関係になることを述べている。

dは明らかに軸zz′の間の垂直距離である。

平行軸の定理をストレッチ則と垂直軸の定理に適用することで、様々な形の慣性モーメントを求めることができる。

断面慣性モーメントに対する平行軸の定理

導出[編集]

一般性を失うことなく、デカルト座標系において軸間の垂直距離はx座標の値および重心が原点にあると仮定する。z軸に対する慣性モーメントは

で求まる。重心からx軸に沿って垂直距離d動かした軸z′に対する慣性モーメントは

で求まる。かっこを展開すると

となる。1番目の項はIcmであり、2番目の項はmd2となる。最後の項の積分は重心のx座標の倍数であるが、重心が原点にあるため0である。したがって、式は次のようになる。

テンソル一般化[編集]

平行軸の定理は慣性テンソルを含む計算に一般化することができる。重心で計算した物体の慣性テンソルをIijとする。すると、新しい点に関して計算される慣性テンソルJij

となる。は重心から新たな点までの変位ベクトル、δijクロネッカーのデルタである。

対角要素(i = j)の場合、回転軸に対して垂直に変位すると、上記の単純化した平行軸の定理が得られる。

一般化された平行軸の定理は、次のように無座標表記の形で表すことができる。

E33 × 3単位行列外積である。

さらに一般化すると基準慣性テンソルに関する基準軸x, y, zの組が質量中心を通るか否かに関係なく、これらに平行な直行軸の任意の組についての慣性テンソルが得られる[2]

断面慣性モーメント[編集]

平行軸の定理は平面領域D断面二次モーメント(面積慣性モーメント)にも適用される。

Izは平行軸に対するDの面積慣性モーメント、Ix幾何中心に対するDの面積慣性モーメント、Aは平面領域Dの面積、rは新たな軸zから平面領域Dの幾何中心までの距離。Dの幾何中心は、均一な密度で同じ形状を有する物理的プレートの重心と一致。

平面力学に対する極慣性モーメント[編集]

Polar moment of inertia of a body around a point can be determined from its polar moment of inertia around the center of mass.

平面と平行に動くようにされている剛体の質量特性は、この平面の質量中心R = (xy)とRを通りこの平面に垂直な軸周りの極慣性モーメントIRによって定義される。平衡軸の定理は任意の点Sの周りの慣性モーメントISと質量中心Rを中心とする慣性モーメントIRの間に便利な関係を与える。

質量中心Rには

という性質がある。rは物体の体積Vで積分される。平面運動をしている物体の極慣性モーメントは、任意の基準点Sに対して計算することができる。

Sは定数で、rは体積Vで積分する。

慣性モーメントIRを用いて慣性モーメントISを求めるために、Sから質量中心Rへのベクトルdを導入する。

最初の項はIR、2番目の項は質量中心の定義により0、最後の項は物体に総質量にベクトルdの2乗の大きさをかけたものである。したがって

となる。これは平衡軸の定理として知られているものである[3]

慣性モーメント行列[編集]

粒子の剛体系の慣性行列は、基準点の選び方による[4]。質量中心Rに対する慣性行列と他の点Sに対する慣性行列との間には有用な関係があり、この関係は平衡軸の定理と呼ばれる。

で与えられる、基準点Sに対して測定された粒子の剛体系で得られた慣性行列[IS]を考える。ここでriは粒子Piの位置を定義し、i = 1, ..., nである、[ri − S]は外積を実行する歪対称行列であり、任意のベクトル yに対して

となる。

Rを剛体系の質量中心とすると

となる。dは基準点Sから質量中心Rへのベクトル。慣性行列を計算するには、次の式を使用する。

この方程式を展開すると

が得られる。最初の項は質量中心に対する慣性行列[IR]である。第2項、第3項は質量中心Rの定義により0となる。

最後の項は系の総質量にdから作られる歪対称行列[d]の2乗をかけたものである。

結果は平衡軸の定理となる。

ここでdは、基準点Sから質量中心Rへのベクトルである[4]

歪対称行列に対する恒等式[編集]

歪対称行列を用いた平衡軸の定理の定式化とテンソルによる定式化を比較するためには、以下の恒等式が有用である。

位置ベクトルR = (xyz)と関連する歪対称行列を[R]とおくと、慣性行列の積は

となる。この積は外積[R RT]により形成される行列を使用して計算できる。

[E3]は3 × 3単位行列。

また、

である。trはトレースであり、外積行列の対角要素の和を表す。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Arthur Erich Haas (1928). Introduction to theoretical physics 
  2. ^ A. R. Abdulghany, American Journal of Physics 85, 791 (2017); doi: https://dx.doi.org/10.1119/1.4994835 .
  3. ^ Paul, Burton (1979), Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6 
  4. ^ a b T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGraw-Hill, NY, 2005.

外部リンク[編集]