射影集合

数学の記述集合論において、ポーランド空間 $X$ の部分集合 $A$ が 射影集合 であるとは、それがある正整数 $n$ についての ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 集合であることをいう。ここで、$A$ が

• ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ 集合であるとは、$A$ が 解析集合であること。
• ${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$ 集合であるとは、$A$ の補集合 $X\setminus A$ が ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 集合であること。
• ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}$ 集合であるとは、あるポーランド空間 $Y$ と ${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$ 集合 $C\subseteq X\times Y$ について、$A$ が $C$ の射影となること; すなわち、$A=\{x\in X|(\exists y\in Y){\langle }x,y{\rangle }\in C\}$ となること。

射影集合のクラスの列 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ (n=1,2,……)は包含関係に関する狭義単調増加列になる。射影集合全体がなしているこの階層構造を射影階層と呼ぶ。第三節のポーランド空間 $Y$ が何であるかは重要ではなく、不可算なポーランド空間（ベール空間, カントール空間, 実数直線等）を一つ固定しておいても良い。

解析的階層との関連

ベール空間の部分集合がなす相対化された解析的階層と、ベール空間の部分集合がなす射影階層との間には密接な関連がある。

ベール空間の全ての ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 部分集合が $\Sigma _{n}^{1}$ であるわけではないが、ある自然数集合 A についての $\Sigma _{n}^{1,A}$ 集合にはなる。${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$ 集合についても同様のことが言える。この関係は実効記述集合論において重要である。

同様の関係はカントール空間の部分集合間、さらに一般化して実効ポーランド空間の部分集合間にも言える。

他の階層との比較

細字		太字
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (しばしばΔ0 1と同じ)		Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (定義されていれば)
Δ0 1 = 帰納的		Δ0 1 = 開かつ閉
Σ0 1 = 帰納的可算	Π0 1 = 補-帰納的可算	Σ0 1 = G = 開	Π0 1 = F = 閉
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	Σ0 2 = Fσ	Π0 2 = Gδ
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	Σ0 3 = Gδσ	Π0 3 = Fσδ
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Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = 算術的		Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = boldface arithmetical
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Δ0 α (αは再帰的)		Δ0 α (αは可算)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
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Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1 = 超算術的		Σ0 ω1 = Π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = ボレル
Σ1 1 = lightface analytic	Π1 1 = lightface coanalytic	Σ1 1 = A = 解析集合	Π1 1 = CA = 補解析集合
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	Σ1 2 = PCA	Π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	Σ1 3 = PCPCA	Π1 3 = CPCPCA
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Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = 解析的階層に属する集合		Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = P = 射影集合
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参考文献

• Kechris, A. S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94374-9 
• Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, First MIT press paperback edition, ISBN 978-0-262-68052-3