射影的対象

圏論において，射影的対象（しゃえいてきたいしょう，英: projective object）の概念は射影的加群の概念を一般化する．

圏 ${\mathcal {C}}$ の対象 P が射影的とは，hom関手

$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

が全射を保つことをいう．つまり，任意の射 $f\colon P\to X$ は任意の全射 Y → X を通して分解する．

${\mathcal {C}}$ をアーベル圏とする．この文脈では，対象 $P\in {\mathcal {C}}$ が射影的対象であるとは，

$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

が完全関手であることをいう．ただし $\mathbf {Ab}$ はアーベル群の圏である．

射影的対象の双対概念は単射的対象の概念である：アーベル圏 ${\mathcal {C}}$ の対象 Q が単射的であるとは，${\mathcal {C}}$ から $\mathbf {Ab}$ への関手 $\operatorname {Hom} (-,Q)$ が完全であることをいう．

充分射影的対象をもつ

${\mathcal {A}}$ をアーベル圏とする．${\mathcal {A}}$ が充分射影的対象をもつ（Have Enough Projectives）とは，${\mathcal {A}}$ の任意の対象 A に対して，${\mathcal {A}}$ の射影的対象 P と完全列

$P\longrightarrow A\longrightarrow 0$

が存在することをいう．言い換えると，射 p: P → A は全射である．

例

R を 1 をもつ環とする．左 R 加群の圏 ${\mathcal {M}}_{R}$ を考える．${\mathcal {M}}_{R}$ はアーベル圏である．${\mathcal {M}}_{R}$ における射影的対象はちょうど射影左 R 加群である．なので R はそれ自身 ${\mathcal {M}}_{R}$ の射影的対象である．双対的に，${\mathcal {M}}_{R}$ における単射的対象はちょうど単射的左 R 加群である．

左（右）R 加群の圏は充分射影的対象を持つ．なぜならば，任意の左（右）R 加群 M に対して，F として M の生成集合 X（M でよい）によって生成される自由（したがって射影）R 加群をとることができるからである．すると 標準射影 π: F → M が所望の全射である．

参考文献

• Mitchell, Barry (1965), Theory of categories, Pure and applied mathematics, 17, Academic Press, ISBN 978-0-124-99250-4, MR0202787 

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