プラソロフ点

ユークリッド幾何学において、プラソロフ点（プラソロフてん、英:Prasolov point）とは、三角形の中心の一つである。クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」(英語版)ではX(68)として登録されている^[1]。名称はロシアの数学者、ヴィクトル・ヴァシーリエヴィッチ・プラソロフ（ロシア語版）が著書「Задачи по планиметрии」（面積測定の問題）で証明したことに由来する。

定義[編集]

第二オイラー三角形 $△H' a H' b H' c$ :垂足三角形を九点円の中心で鏡映した三角形プラソロフ点:元の三角形と第二オイラー三角形の配景の中心

$△ ABC$ について、九点円の中心を $N$ 、垂足三角形を $△H a H b H c$ とする。また、 $H a,H b,H c$ をそれぞれ $N$ で鏡映した点を $H' a,H' b,H' c$ とする。 $△ ABC$ と $△H' a H' b H' c$ （第二オイラー三角形,2nd Euler triangle^[2]）の配景の中心、つまり $AH' a,BH' b,CH' c$ の交点をプラソロフ点という^[3]。

性質[編集]

$H a,H b,H c$ を中心とし、それぞれ $A,B,C$ を通る円の根心はプラソロフ点である^[1]。
$△ DEF$ を外心の外周三角形、 $D,E,F$ をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した点を $D',E',F'$ とする。 $△ ABC$ と $△ D'E'F'$ （外心フールマン三角形）の配景の中心はプラソロフ点である。
九点円の中心、類似重心と共線である。
垂足三角形の垂足三角形と元の三角形の相似中心X(24)の等角共役点である。X(24)はオイラー線上にある。
ジェラベク双曲線上にある^[4]。
プラソロフ点の重心座標は以下の式で表される。

\tan 2A:\tan 2B:\tan 2C

出典[編集]

^ ^a ^b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X68”. faculty.evansville.edu. 2024年3月30日閲覧。
^ “Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. "Prasolov Point". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).

[:0-1] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X68”. faculty.evansville.edu. 2024年3月30日閲覧。

[2] “Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。

[3] Weisstein, Eric W. "Prasolov Point". mathworld.wolfram.com (英語).

[4] Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).

[1]

[2]

[3]

[4]