ノート:冪乗

0の0乗について

はじめまして。ノートは初めてなので、使い方はよく分かっていません。

べき乗で、０の０乗を定義しようとする人が少数ながら存在することは明らかです。 英語版では en:Exponentiation#Zero to the zero power に記述があります。 これの注釈４には、その記述があります。

その人たちから見れば、べき乗の定義がなぜ指数０からなのかは不思議に思うことです。 また、０の０乗は、中学生でも記号の意味が理解できるにも関わらず、０の０乗で説明されている、その定義が存在しない理由は、極限値という高校以上でしか理解できない言葉です。 ならば、中学生でも理解できる範囲で、０の０乗が定義されていず、それを避ける意味で指数１からの定義となっている理由を記述することは必要な行為であると思われます。 そして、その記述は、べき乗の定義が記述されている箇所に記入する必要があります。

なお、「指数の拡張と指数法則」の項において、最初の文章に、逆元を考えることにより整数の範囲まで拡張した、という記述がありますが、これは明確な誤りです。これに０が含まれていないことは明らかです。 つまり、べき乗のページに０の０乗でなく、一般の数の０乗についての記述が含まれていないのです。 その理由として、また０の０乗の問題が出てくるのでしょうが、それは現状では関連項目で出てくるに過ぎません。 べき乗のページは、現在のままでは不完全ではないでしょうか。

独自研究に近いことは認めますが、この記述を否定する勢力があるとは思えませんので、許される範囲ではないでしょうか？ --風船 2008年10月3日 (金) 02:28 (UTC)

こんにちは、当該部分を除去した者で、また、0の0乗の半分くらいを書いた者です。提案なのですが、「0の0乗」がうまく定義されないことを、中学生でも（なんとなく）分かるように説明することが必要、と風船さんが思われるのでしたら、こちらでは一言断るだけにしておいて、詳しくは0の0乗の方に書いてはいかがでしょうか。

逆元を考えることにより整数の範囲まで拡張した、という記述がありますが、これは明確な誤りです

ご指摘ありがとうございます。修正しました。--白駒 2008年10月3日 (金) 09:44 (UTC)

まず、修正が不適当であることを指摘しておきます。 乗法の単位元は１です。つまり、この記述はx=0でも１になるということを示しています。 その直前に「xが逆元x^-1をもつならば」という記述があり、０が含まれないということになるのでしょうが、それに気付かないかもしれません。（元々そのための記述でもないですし） 特に、０の０乗に問題があると知らない人にとっては、それを含めて１と考えるでしょう。 そのためにも、０の０乗の問題の存在を、定義の項で示すことが必要です。

私としては、やはり定義での記述を主張しますが、でも一言断ることでも構わないかもしれません。 定義の記述は簡単な方が良い、というのにも一理ありますからね。 よって、整数への拡張部分で誤解が生じなければ、定義に関する問題は、０の０乗に記述することにします。 べき乗の修正は、お任せします。 --風船 2008年10月3日 (金) 10:49 (UTC)

少し話が噛み合っていない気がするのですが、本項は実数のみならず、一般に積が定義された集合における冪乗についての記事であることは理解されているでしょうか。それが分かりにくい、という批判はあるかもしれませんので、英語版の en:Exponentiation#Generalizations of exponentiation のように節を分けることも考えられます。少し時間を頂ければ書き直してみます。ついでに関連する再編案を提示しておきます。

• 「効率的な演算法」の節の内容は、狭い意味での冪乗のみならず、べき剰余などとも関連がある内容ですので、分割した方がよい気がします。対応する英語版の記事は en:Exponentiation by squaring で、日本語の項目名としては、バイナリ法または繰り返し二乗法あたりでしょうか。
• 指数関数に、底と指数がともに複素数である場合を記述したいのですが、別に冪関数という記事を立てるという方法も考えられます。

以上につきまして、ご意見がありましたらお願いします。--白駒 2008年10月3日 (金) 14:31 (UTC)

つまり、実数の０乗には問題が存在しているが、それ以外の一般に積が定義された集合では、０乗は単位元と定義されているので、それが定義に書かれないとまずい、という理由でよろしいでしょうか？ それならば、０の０乗のみについて問題があることを、０乗の定義の際（指数の項）に明記してはどうでしょうか。 そこに、０の０乗が未定義であることと、０の０乗の問題への誘導があれば、十分である気がします。 私自身は、０の０乗は１とする立場ですが、一般常識はそうではないので、１であると誤解される記述は防がなければなりません。

再編案については、コメントしないでおきます。 今回の記述の変更とは、関連しないように思いますので。 --風船 2008年10月4日 (土) 02:08 (UTC)

実数の０乗には問題が存在しているが、それ以外の一般に積が定義された集合では、０乗は単位元と定義されているので、それが定義に書かれないとまずい、という理由でよろしいでしょうか？

• いいえ。本文をよくお読みください。一般の集合においても、逆元が存在しない元の0乗については何も言及していません。実数における0の0乗と同じく立場が分かれるからです。
• 私の言いたいこと（のひとつ）は、全体として一般の集合について論じているのに、途中で突然実数に限った話になるのはバランスを逸している、ということです。失礼ながら、0の0乗における加筆についても、全体の構成や話の流れを考慮せず、書きたいことをただ書いている、という印象です。

まあ、しばらくお待ちください。私は現状で特に不足はないと思っていますが、0の0乗について言及すべしという意見は承りました。--白駒 2008年10月5日 (日) 07:47 (UTC)--白駒 2008年10月5日 (日) 07:47 (UTC)

べき乗か累乗か

関数か函数かという問題と被るかもしれないですが、「表現はほぼ「累乗」に統一されている。」(2013年11月10日の版）のならば、記事名は累乗のほうがいいのでは？--114.162.63.61 2014年3月29日 (土) 08:56 (UTC)

そうは全く思いませんので、当該部分の記述をリバートしました。--白駒（会話） 2014年3月29日 (土) 14:16 (UTC)

私自身は「冪」「羃乗」という漢字が好きなので、冪指数とか、羃底とかいう表現をよく使ってしまいます。これらが、常用漢字（古くは当用漢字）に含まれなかったため、文部省～文科省は「累乗」への言いかえを進めて、初等教育の中ではすでに「冪」「羃乗」といった表現は駆逐されてしまいました。現在の高等学校や高専で使っている定義で、「累乗の指数を拡張する」という内容があり、指数を実数値や虚数値まで拡張して考えるという話題を訊いたことがあります（伝聞ですが）。そうなると、今まで整数の指数を持つものを「累乗」、一般のPower表現を「羃乗」と使い分けていたものが、一気に「累乗」に乗っ取られて、「冪」「羃乗」といった表現を知らない学生が高等教育に上がってくるのかなぁと思うと、ちょっと寂しい気がしたものです。しばしば改訂されるので、理解不足で申し訳ありませんが、現役の「高等学校指導要領」では、どのような扱いになっているでしょうか。どなたか現場におられる方、教えていただけると助かります。利用者：東方老人 2018.7.23.(月)

意外に思われるかもしれませんが、高等学校学習指導要領には「累乗」ということばは登場しません。もちろん「冪乗」もありません。「累乗根」ということばは指導することとされていますので、必然的に「冪乗」ではなく「累乗」を用いることになるということです。ただ、指導要領からは、「指数」ということばで済む文脈ではなるべく「指数」で済ませよう、という意図も見える気がします。--115.37.31.60 2018年7月23日 (月) 10:05 (UTC)

• 「累乗」があたかも【冪指数が自然数のもの「のみ」】であるかのように読める箇所がいくつかありましたのでコメントアウトしておきました。調べた限り信頼できる情報源でそのように記述してあるものはありませんでした。おそらく「累」という漢字の語義からそのように類推したWikipedianによる独自研究だと思いますが、Wikipediaが新たな数学上の表記方法を提案する場所になるのは編集ルール上まずいので、信頼できる情報源を提示頂ける方がおられるようならぜひご紹介頂くようお願い申し上げます。--大和屋敷（会話） 2023年11月17日 (金) 13:49 (UTC)

「べき乗」は誤用か

• 標記について、和算では「冪」と称し、明治初期にはexponentを「冪指数」「冪数」「指数」などと邦訳していたことは鈴木真治2013で確認できるのですが「べき乗」が「誤用」と判定できるだけの信頼できる情報源が発見できずにおります。仮に冪乗が誤用であり、正用がpower=「冪」であるならば、記事タイトルの変更も視野に入れるべきだと言えますので、情報をお持ちの方は提供のほどよろしくお願い申し上げます。--大和屋敷（会話） 2017年5月4日 (木) 10:51 (UTC)

誤用に詳しいと言われる『明鏡国語辞典』にもしも「べき乗」が誤用だとしたら何か書いてあるかと思って第三版を見てみましたが，特に何も書いてありませんでした．そもそも見出し語になっていたのは「冪」と「累乗」だけで，「べき乗」は見当たりませんでした．他もいくつか当たりましたが，このような結果が最もありふれているようです．たとえ「べき乗」が誤用でなかったとしても，記事名としては「冪」か「べき (数学)」あるいは「累乗」を選ぶ方がより適当なように見えます．個人的には冪根・冪級数・冪集合・冪零・冪等などの用語との整合性と造語力の高さからも「冪」を推したいですね．--ARAKI Satoru（会話） 2023年11月19日 (日) 08:28 (UTC)

指数・対数法則の不成立について

多価関数のどの枝をとるかによる見かけ上の不成立と考えられます。

$x^{\frac {1}{2}}=|x|^{\frac {1}{2}}\left(\cos({\frac {\arg x}{2}}+n\pi )+i\sin({\frac {\arg x}{2}}+n\pi )\right)$

特に$x$が実数で$x\geq 0$のとき

$x^{\frac {1}{2}}=\left\lbrace {\sqrt {x}},\quad -{\sqrt {x}}\right\rbrace$

$x$が実数で$x<0$のとき

$x^{\frac {1}{2}}=\left\lbrace {\sqrt {|x|}}i,\quad -{\sqrt {|x|}}i\right\rbrace$

また、$x=-1$のとき

$(-1)^{\frac {1}{2}}=\left\lbrace i,\quad -i\right\rbrace$

であることにより、どの枝をとるかによって、正負が入れ替わることがあります。
この項目は削除しても良いのではないでしょうか。 --Toranu-Tanuki（会話） 2024年1月3日 (水) 00:34 (UTC)

指数法則について

複素数域においては、

${\sqrt {x^{2}}}=\left\lbrace x,\quad -x\right\rbrace$

であることより、全ての規則は無条件に成立することを追記すべきと考えます。
なお複素数域においては、

$\left(a^{r}\right)^{s}=-a^{r\cdot s}$

は不要であることも明記すべきです。 --Toranu-Tanuki（会話） 2024年1月3日 (水) 02:08 (UTC)

追記です。 複素数域において指数法則が無条件に成立するためには、以下の補正項が必要であることが分かりました。

$\left(a\cdot b\right)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\cdot e^{-i2\pi nr}$

$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}\cdot e^{-i2\pi ns}$

全面的に書き直したほうが良いと考えます。 --Toranu-Tanuki（会話） 2024年1月4日 (木) 06:15 (UTC)