チャーン・サイモンズ形式

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数学において、チャーン・サイモンズ形式(: Chern–Simons form)とは、ある第二特性類のことを指す。それらは、ゲージ理論で興味をもたれ、(特に3-形式は)チャーン・サイモンズ理論の作用を定義する。理論はS.S.チャーンジェームズ・サイモンズ英語版の名前にちなんでいて、1974年の共著論文、題名:「Characteristic Forms and Geometric Invariants」の中で、この理論が生まれた。(Chern & Simons 1974)

定義[編集]

多様体が与えられ、多様体の上のリー代数に値を持つ1-形式(1-form)の空間を とすると、以下のようにして、(チャーン・サイモンズ)p-形式の族を定義することができる。

1-次元では、チャーン・サイモンズ 1-形式は次の式で与えられる。

3-次元では、チャーン・サイモンズ 3-形式 は次の式で与えられる。

5-次元では、チャーン・サイモンズ 5-形式 は次の式で与えられる。

ここに曲率 F は次のように定義される。

一般のチャーン・サイモンズ形式 は次のような方法で定義される。

ここにウェッジ積は Fk と定義する。この式の右辺は、接続 の k-番目のチャーン類に比例する。

一般に、チャーン・サイモンズ p-形式は任意の奇数 p に対し定義される。(定義はゲージ理論も参照のこと)。p-次元多様体の上のチャーン・サイモンズ項の積分は、大域的な幾何学的不変量であり、典型的には、整数倍を同一視するとゲージ不変(な不変量)となる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]